[論文レビュー] L-infinity algebra actions

Rajan Amit Mehta, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$L_{u}$-代数が順序付き多様体に作用する概念を導入し、その作用が、$mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上のホモロジー的ベクトル場とちょうど一致することを示している。そのホモロジー的ベクトル場は、$mathfrak{g}[1]$ 上の$Q$-構造に射影する。主な貢献は、$L_{\infty}$-代数への変換リー代数の対応の一般化であり、$L_{\infty}$-代数の新しい半直積の概念を可能にし、既知の構造（モジュールやホモトピーに沿った表現など）を統一する。

ABSTRACT

We define the notion of action of an L-infinity algebra $g$ on a graded manifold $M$, and show that such an action corresponds to a homological vector field on $g[1] imes M$ of a specific form. This generalizes the correspondence between Lie algebra actions on manifolds and transformation Lie algebroids. In particular, we consider actions of $g$ on a second L-infinity algebra, leading to a notion of "semidirect product" of L-infinity algebras more general than those we found in the literature.

研究の動機と目的

• 古典的なリー代数作用と変換リー代数の対応を、$L_{\\infty}$-代数の設定に一般化すること。
• $L_{\infty}$-作用の概念を、順序付き多様体$\mathcal{M}$上で定義し、無限小作用を一般化するとともに、既知の構造（$L_{\infty}$-モジュールやホモトピーに沿った表現）を含むようにすること。
• $L_{\infty}$-作用と、$\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ から $\mathfrak{g}[1]$ への$Q$-多様体の準同型との対応を確立すること。
• $L_{\infty}$-代数の拡張の新しいクラスを、半直積を用いて構成すること。これは、既存の構成よりも一般化されている。

提案手法

• $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上のホモロジー的ベクトル場$Q$を用いて、$\mathfrak{g}$ が順序付き多様体$\mathcal{M}$に作用する$L_{\infty}$-作用を定義する。ここで、$Q$は$\mathfrak{g}[1]$ 上の$Q$-構造に射影する。
• $Q$-多様体形式を用いて、次数1のホモロジー的ベクトル場によって$L_{\infty}$-代数構造を符号化する。
• $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M} \to \mathfrak{g}[1]$ の射影が$Q$-多様体準同型であるという条件によって、$L_{\infty}$-作用を特徴付ける。
• $\mathcal{M}$ が別の$L_{\infty}$-代数$\mathfrak{h}$ に対応する$Q$-多様体であるとき、$\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{h}$ 上に半直積$L_{\infty}$-代数構造を構成する。
• $NQ$-多様体の次数1の場合にこの枠組みを適用し、それがリー代数的束に帰着されることを示し、古典理論を拡張する。
• この枠組みを用いて、リー代数的束の同型とベクトル場の1時間フローを用いて、$L_{\infty}$-作用の同値性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変換リー代数の古典的構成を、$L_{\infty}$-代数に一般化する方法は何か？
• RQ2 $L_{\infty}$-代数の順序付き多様体への作用と、$\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上のホモロジー的ベクトル場との正確な対応関係は何か？
• RQ3 $L_{\infty}$-代数の半直積を、既知の構成（$L_{\infty}$-モジュールやホモトピーに沿った表現など）を一般化する形で構成できるか？
• RQ4 $L_{\infty}$-作用が$Q$-多様体上で、リー代数的束やコーラント代数的束の拡張とどのように関係するか？
• RQ5 モーメント写像は、$\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 上に標準的なリー代数的束構造を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $L_{\infty}$-代数$\mathfrak{g}$ が順序付き多様体$\mathcal{M}$に作用することは、$\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 上のホモロジー的ベクトル場$Q$が存在し、その射影$\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M} \to \mathfrak{g}[1]$ が$Q$-多様体準同型であることに同値である。
• $\mathcal{M}$ が別の$L_{\infty}$-代数$\mathfrak{h}$ に対応する$Q$-多様体であるとき、その構造は$\mathfrak{g}$ に関する$\mathfrak{h}$ を用いた$L_{\infty}$-代数の拡張となり、半直積構成を一般化する。
• この構成により、既知の構造（$L_{\infty}$-モジュール、ホモトピーに沿った表現、および随伴表現）が特殊な場合として回復される。
• 次数1の$NQ$-多様体に対して、この枠組みによりリー代数的束の拡張が得られ、関連するリー代数的束構造$\mathfrak{g} \times M \oplus A$ は、線形写像$\phi: \mathfrak{g} \to \Gamma(A)$ によるねじれがある場合、積のリー代数的束と同型である。
• $L_{\infty}$-作用の同値性は、$\mathfrak{g}$ への射影と可換な、関連するリー代数的束の同型に対応する。
• ポisson-Lie群作用におけるモーメント写像$J: M \to G^*$ から、$\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 上に標準的なリー代数的束構造が得られる。これは、Luの構成とは異なり、混合括弧は$A$にのみ値を持つ。