[論文レビュー] L-infinity structures on mapping cones

Domenico Fiorenza, Marco Manetti|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、微分 graded Lie 代数の準同型 $\chi: L \to M$ の写像コーンに、$L$ のLie代数構造とコーン上の微分を両方引き上げる canonical $L_\infty$-代数構造を構成する。この構成は同型を除いて一意であり、[19]で定義された変形函手を実現する。これにより、幾何的変形函手を研究するための $L_\infty$-代数技法の適用が可能になる。

ABSTRACT

We show that the mapping cone of a morphism of differential graded Lie algebras $χ\colon L o M$ can be canonically endowed with an $L_\infty$-algebra structure which at the same time lifts the Lie algebra structure on $L$ and the usual differential on the mapping cone. Moreover, this structure is unique up to isomorphisms of $L_\infty$-algebras. The associated deformation functor coincides with the one introduced by the second author in arXiv:math.AG/0507287.

研究の動機と目的

• 微分 graded Lie 代数の準同型 $\chi: L \to M$ の写像コーン $C_\chi$ に canonical $L_\infty$-代数構造を与えること。
• この構造が $L$ 上のLie括弧と $C_\chi$ 上の微分の両方を引き上げることを保証すること。
• 得られる変形函手 $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ が、[19]で定義された $\operatorname{Def}_\chi$ と同型であることを示すこと。これは幾何的変形問題をモデル化する。
• この $L_\infty$-構造が $L_\infty$-代数の同型を除いて一意的であることを確立すること。
• 写像コーンから生じる変形函手に、$L_\infty$-代数の道具立て（例えばKuranishi写像やモジュライ空間の記述）を適用するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 写像コーン $C_\chi = L \oplus M[-1]$ を、微分 $\delta(l,m) = (dl, \chi(l) - dm)$ で定義し、コホモロジー複体をなす。
• Leibniz則を満たすがJacobi恒等式を満たさない「素朴な括弧」を引き上げ、高次括弧による補正で $L_\infty$-代数構造を構成する。
• ホモトピー論的技法を用いて高次 $L_\infty$ 括弧を明示的に記述し、二次部分が素朴な括弧と一致し、高次括弧がJacobiatorを補正することを示す。
• 得られる $L_\infty$-代数 $\widetilde{C}(\chi)$ が $L_\infty$-代数の圏において同型を除いて一意的であることを証明する。
• $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ が、 twisted Maurer-Cartan 方程式の解のゲージ同値類による定義で与えられる $\operatorname{Def}_\chi$ と同型であることを示す。
• $L_\infty$-代数の quasi-isomorphism が変形函手を同型に引き起こすという事実を用いて、元の準同型 $\chi$ の quasi-isomorphism に関して不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分 graded Lie 代数の準同型 $\chi: L \to M$ の写像コーンに、$L$ 上のLie代数構造とコーン上の微分の両方を引き上げる canonical $L_\infty$-代数構造を備えることができるか？
• RQ2 この $L_\infty$-構造は $L_\infty$-代数の同型を除いて一意的か？
• RQ3 この $L_\infty$-構造に関連する変形函手は、[19]で定義された $\operatorname{Def}_\chi$ と一致するか？ これは幾何的変形問題をモデル化する。
• RQ4 $L_\infty$-代数の道具立て（例えばKuranishi写像やモジュライ空間の記述）を、写像コーンから生じる変形函手に適用できるか？
• RQ5 $C_\chi$ 上の $L_\infty$-構造は函手的であり、準同型 $\chi$ の quasi-isomorphism と整合的か？

主な発見

• 任意の微分 graded Lie 代数の準同型 $\chi: L \to M$ に対して、その写像コーン $C_\chi$ は、$L$ 上のLie括弧と $C_\chi$ 上の微分の両方を引き上げる canonical $L_\infty$-代数構造を備える。これは定理1で証明された。
• この $L_\infty$-構造は $L_\infty$-代数の同型を除いて一意的であり、canonical 関手 $\widetilde{C}: \mathbf{DGLA}^2 \to \mathbf{L}_\infty$ を確立する。
• $L_\infty$-代数に関連する変形函手 $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ は、[19]で定義された $\operatorname{Def}_\chi$ と同型である。これは定理2で示された。
• この構成により、$L_\infty$-代数技法（例えばKuranishi写像のホモトピー不変性や局所的モジュライ空間記述）を、写像コーンに基づく変形問題に適用できるようになった。
• $\chi$ が quasi-isomorphism であるならば、誘導される写像 $\widetilde{C}(\chi_1) \to \widetilde{C}(\chi_2)$ は $L_\infty$-代数の線形 quasi-isomorphism であり、変形函手を同型に引き起こす。これは定理8.2で示された。
• 全射 $A \to B$ で核が $I$ であるときのHochschildコホモロジーの例において、$K = \operatorname{Hoch}^\bullet(I,B)[-1]$ 上に誘導される $L_\infty$-構造は $I^2 \neq 0$ のとき非自明であり、$f \in H^1(K)$ の類に対して $[f,f] \neq 0$ であることが示されている。