[論文レビュー] $L^p$-mapping properties for Schrödinger operators in open sets of $\mathbb R ^d$

Tsukasa Iwabuchi, Tokio Matsuyama+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上のシュレーディンガー作用素 $H_V = -\Delta + V$ に対して、$L^p$-有界性を確立する。ここで $V$ はカトーシャス $K_d(\Omega)$ に属し、その負の部分に対して小さい条件を満たす。スペクトル理論と熱核の点ごとの推定を用いて、任意の迅速減少関数 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$ に対して、すべての $1 \leq p \leq \infty$ および $\theta > 0$ に対して $\varphi(\theta H_V)$ が $L^p(\Omega)$ 上で一様有界であることを証明する。これは、特異ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素へ古典的乗数定理を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $H_V=-Δ+V$ be a Schrödinger operator on an arbitrary open set $Ω$ of $\mathbb R^d$, where $d \geq 3$, and $Δ$ is the Dirichlet Laplacian and the potential $V$ belongs to the Kato class on $Ω$. The purpose of this paper is to show $L^p$-boundedness of an operator $φ(H_V)$ for any rapidly decreasing function $φ$ on $\mathbb R$. $φ(H_V)$ is defined by the spectral theorem. As a by-product, $L^p$-$L^q$-estimates for $φ(H_V)$ are also obtained.

研究の動機と目的

• 任意の開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上のシュレーディンガー作用素 $H_V = -\Delta + V$ に対して、$V$ がカトーシャスに属する場合の関数計算 $\varphi(H_V)$ の $L^p$-有界性を確立すること。
• スペクトル理論を用いて、古典的 $L^p$-乗数定理を特異ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素へ拡張すること。
• $\theta > 0$ および $1 \leq p \leq \infty$ に対して、$\varphi(\theta H_V)$ が $L^p(\Omega)$ 上で一様有界であることを証明し、スケーリングに対して安定性を保証すること。
• 関数計算を用いて $H_V$ に由来するベソフ空間を定義する基盤を提供すること。

提案手法

• 迅速減少関数の空間 $\mathscr{S}(\mathbb{R})$ に属する $\varphi$ に対して、スペクトル定理を用いて $\varphi(H_V)$ を定義する。
• 仮定 A を課す：$V = V_+ - V_-$ で、$V_\pm \in K_d(\Omega)$ かつ $\|V_- olimits_{K_d(\Omega)} < \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2 - 1)}$ であり、これにより $H_V$ の自己共役性と非負性が保証される。
• 次元 $d \geq 3$ に対して、D’Ancona と Pierfelice が得た熱核 $e^{-tH_V}$ の点ごとの推定を用い、$L^p$-写像推定に不可欠な役割を果たす。
• 交換子計算と反復交換子公式 $\mathrm{Ad}^{k+1}(e^{-itR_{V,\theta}}) = -i\int_0^t \sum \Gamma(k_1,k_2,k_3) \mathrm{Ad}^{k_1}(e^{-isR_{V,\theta}}) \mathrm{Ad}^{k_2+1}(R_{V,\theta}) \mathrm{Ad}^{k_3}(e^{-i(t-s)R_{V,\theta}}) \, ds$ を用いて、正則性と減衰を制御する。
• 滑らかで compact な台を持つ関数による近似と分布的収束を用いて、$\mathrm{Ad}^1(R_{V,\theta})$ とリゾルベント $R_{V,\theta}$ に関する恒等式の正当化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素 $H_V = -\Delta + V$ が $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) の開集合 $\Omega$ 上にあり、$V$ がカトーシャスに属するとき、関数計算 $\varphi(H_V)$ は $L^p(\Omega)$ ($1 \leq p \leq \infty$) に有界に拡張可能か？
• RQ2 $\varphi$ が迅速減少関数であるとき、$\varphi(\theta H_V)$ の $L^p$-作用素ノルムは $\theta > 0$ に対して一様に有界か？
• RQ3 $V_-$ のカトーシャスノルム条件が $\varphi(H_V)$ の $L^p$ 上の有界性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上の熱核 $e^{-tH_V}$ の点ごとの推定が、$\varphi(H_V)$ の $L^p$-写像性にどのように寄与するか？
• RQ5 シュレーディンガー作用素 $H_V$ のスペクトル関数計算を用いて、$H_V$ に由来するベソフ空間を定義し、研究することが可能か？

主な発見

• 仮定 A を満たす $V$ のもとで、すべての $1 \leq p \leq \infty$ および $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$ に対して、$\varphi(H_V)$ は $L^p(\Omega)$ 上で有界である。
• $\theta > 0$ に対して、$\varphi(\theta H_V)$ の $L^p$-作用素ノルムは一様に有界であり、その界は $d$ と $\varphi$ のみに依存し、$\theta$ には依存しない。
• $L^p$-有界性の結果は、古典的フーリエ乗数定理を一般化し、カトーシャスのポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素へ拡張する。
• 証明は、次元 $d \geq 3$ における $H_V$ の熱核の点ごとの推定に強く依存しており、低次元では得られない。
• $\varphi(H_V)$ の $L^p$-有界性は、$H_V$ に由来するベソフ空間の構成を可能にする。関数計算が $L^p$ 上ですばやく振る舞うからである。
• この結果は、$\|V_- olimits_{K_d(\Omega)}$ の小さい条件が、自己共役性および関数計算の有界性を保証するために必要であるという点で鋭い。