[論文レビュー] $L^p$-operator algebras associated with oriented graphs

Guillermo Cortiñas⋆, María Eugenia Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の可算有向グラフ $Q$ に対して関連する $L^p$-作用素代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ を導入し、Phillips の $L^p$-Cuntz 代数を一般化する。$\mathcal{O}^p(Q)$ が任意の非ゼロ空間的 $L^p$-表現の像の閉包と等長同型であることを確立し、$L_Q$ が単純であるときかつそのときに限り $\mathcal{O}^p(Q)$ が $L^p$-作用素代数として単純であることを証明する。さらに、$L_Q$ が純粋に無限単純であるとき、$p \neq p'$ ならば $\mathcal{O}^p(Q)$ と $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ の間に非ゼロ連続準同型が存在しないことを示す。

ABSTRACT

For each $1\le p

研究の動機と目的

• 任意の可算有向グラフ $Q$ に対して、$L^p$-Cuntz 代数を一般化する普遍的 $L^p$-作用素代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ を構成すること。
• $\mathcal{O}^p(Q)$ が $L^p$-作用素代数として単純である条件を特定すること。
• $L_Q$ が純粋に無限単純であるとき、$p \neq p'$ ならば $\mathcal{O}^p(Q)$ と $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ の間に非ゼロ連続準同型が存在しないことを確立すること。
• Phillips の $L^p$-Cuntz 代数に関する結果を、$L^p$-作用素代数を通じてより広いクラスの Leavitt パス代数へ統一的かつ一般化すること。

提案手法

• $\mathcal{O}^p(Q)$ を、すべての空間的 $L^p$-表現によって誘導されるノルムの上限ノルムの下での Leavitt パス代数 $L_Q$ の完備化として定義する。
• 生成子が空間的条件を満たす部分等長作用素に写される、$X$ を $\sigma$-有限測度空間とする空間的表現 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$ を用いる。
• 空間的条件の特徴づけを確立する：非退化表現が空間的であるための必要十分条件は、$0,1$-部分代数への制限が収縮的であり、生成子の作用素ノルムが $1$ 以下であること。
• 一意性定理を用いて、任意の非ゼロ空間的表現 $\rho$ に対して $\mathcal{O}^p(Q)$ が $\overline{\rho(L_Q)}$ と等長同型であることを証明する。
• Andô および Gardella-Thiel の結果を応用し、有限性または $p > 1$ の下で、$\mathcal{O}^p(Q)$ の表現が空間的表現を通じて因数分解できることを示す。
• $\ell^p(\mathbb{N})$-表現と部分空間同型の障害（例：Lindström-Tzafriri や Albin-Kalton の結果）を用いて、$p \neq p'$ のとき $\mathcal{O}^p(Q)$ と $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ の間に準同型が存在しないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^p$-作用素代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ が $L^p$-作用素代数として単純であるのはいつか？
• RQ2 $\mathcal{O}^p(Q)$ が非ゼロ空間的 $L^p$-表現 $\rho$ の像の閉包と等長同型であるのはどのような条件下か？
• RQ3 $L_Q$ が純粋に無限単純であるとき、$p \neq p'$ ならば $\mathcal{O}^p(Q)$ と $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ の間に非ゼロ連続準同型が存在しうるか？
• RQ4 $L_Q$ の単純性と $\mathcal{O}^p(Q)$ が $L^p$-作用素代数として単純であるという性質との関係は何か？
• RQ5 $p \notin \{1,2\}$ のとき、$\mathcal{O}^p(Q)$ とタイトな $L^p$-作用素代数 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$ の関係は何か？

主な発見

• 任意の可算有向グラフ $Q$ に対して、$L^p$-作用素代数 $\mathcal{O}^p(Q)$ は、任意の非ゼロ空間的 $L^p$-表現 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$ の像の閉包 $\overline{\rho(L_Q)}$ と等長同型である。
• $\mathcal{O}^p(Q)$ が $L^p$-作用素代数として単純であるための必要十分条件は、Leavitt パス代数 $L_Q$ が単純であることである。
• $L_Q$ が純粋に無限単純であり、$p \neq p'$ であるとき、$\mathcal{O}^p(Q)$ から $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ への非ゼロ連続準同型は存在しない。これは Phillips の $L^p$-Cuntz 代数に関する結果を一般化する。
• $p \notin \{1,2\}$ のとき、$\mathcal{O}^p(Q)$ は、$Q$ によって生成される逆半群 $\mathcal{S}(Q)$ に関連するタイトな半群 $L^p$-作用素代数 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$ と一致する。これにより、Gardella と Lupini の先行研究との橋渡しがなされる。
• $Q = \mathcal{R}_n$（1つの頂点、$n$ 個のループ）のとき、$\mathcal{O}^p(Q) = \mathcal{O}_n^p$ となり、Phillips の構成と整合的である。
• $\mathcal{O}^p(Q) \to \mathcal{O}^{p'}(Q')$ に非ゼロ連続準同型が存在するならば、$L^{p'}(X)$ は $\ell^p(\mathbb{N})$ と同型な部分空間を含む必要があるが、与えられた条件下では既知の $L^p$-空間埋め込みに関する結果により、これが除外される。