[論文レビュー] Lagrangian cobordism in Lefschetz fibrations

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、負の端を持つラグランジュ・コボルディズムの分解定理を、レフシェッツ・ファイブレーションにおいて確立し、それらが導来フューカイヤ・カテゴリにおける対象を生成することを証明する。この研究は、デーン回転から生じる関係と、自明なファイブレーションから生じる関係という、既知の二種類のラグランジュ部分多様体間の関係を、レフシェッツ・ファイブレーションにおける共通の幾何的枠組みによって統一する。

ABSTRACT

Given a symplectic manifold $(M^{2n},ω)$ we study Lagrangian cobordisms $V\subset E$ where $E$ is the total space of a Lefschetz fibration having $M$ as generic fiber. We prove a generation result for these cobordisms in the appropriate derived Fukaya category. As a corollary, we analyze the relations among the Lagrangian submanifolds $L\subset M$ that are induced by these cobordisms. This leads to a unified treatment - and a generalization - of the two types of relations among Lagrangian submanifolds of $M$ that were previously identified in the literature: those associated to Dehn twists that were discovered by Seidel and the relations induced by cobordisms in trivial symplectic fibrations described in our previous work.

研究の動機と目的

• 負の端を持つラグランジュ・コボルディズムの分解結果を、レフシェッツ・ファイブレーションの導来フューカイヤ・カテゴリ内で確立すること。
• シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体間の二つの異なる関係クラスを統一すること：セイデルのデーン回転関係と、著者らの以前の研究による自明なファイブレーション内のコボルディズム関係。
• 導来フューカイヤ・カテゴリの枠組みを、ターム・レフシェッツ・ファイブレーション内の単調ラグランジュ・コボルディズムを含むように拡張すること。
• ファイバーの導来フューカイヤ・カテゴリのグローテンディーク群が、コボルディズムによって誘導されるラグランジュ部分多様体の像によって生成されることを示すこと。
• コボルディズム分解と並進移動を介して、導来フューカイヤ・カテゴリにおける正確な三角形の幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 全空間 $E$ のための導来フューカイヤ・カテゴリ $D\mathcal{F}uk^*(E)$ を構成し、$\mathbb{Z}_2$係数の普遍ノビコフ環 $\mathcal{A}$ 上の $A_\infty$-カテゴリを用いる。
• 負の端を持つラグランジュ・コボルディズム $V \subset E$ を、$\mathbb{C}$ への射影が $(-\infty, a_i] \times \{i\}$ の和集合である埋め込みラグランジュ部分多様体として定義し、$\mathcal{L}^*(E)$ を介して単調性制約を課す。
• 基底 $\mathbb{C}$ における経路に沿った並進移動を用いて、異なるファイバー内のラグランジュ部分多様体を関連づけ、特に消滅サイクルとマッチング・サイクルを運ぶ。
• 各ラグランジュ部分多様体にヨネダ埋め込み $\mathcal{Y}(L)$ を関連付け、$D\mathcal{F}uk^*(M)$ 内のコボルディズムによって誘導される対象の分解にコーン構成を適用する。
• $\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C^1}$ においてすべてのラグランジュ・スフィアがハミルトニアン同相であることを用いて、運搬されたラグランジュ部分多様体と反対角 $S$ 間の同型を特定する。
• 図-Y の手術構成とコボルディズム分解を用いて正確な三角形を導出し、特に $D\mathcal{F}uk^*(\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1)$ 内で $T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レフシェッツ・ファイブレーション内のラグランジュ・コボルディズムは、導来フューカイヤ・カテゴリ内でどのように体系的に分解可能か？
• RQ2 コボルディズムによって誘導される関係と、二つの既知のラグランジュ関係のタイプ（デーン回転関係と自明なファイブレーションのコボルディズム関係）との関係は何か？
• RQ3 平行移動によって誘導されるラグランジュ部分多様体の像によって、ファイバーの導来フューカイヤ・カテゴリが生成可能か？
• RQ4 $D\mathcal{F}uk^*(\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1)$ 内の同型 $T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$ における写像 $S \to S$ の正確な構造は何か？
• RQ5 レフシェッツ・ファイブレーション内の臨界点の数や位置の変化が、誘導されるコボルディズムの位相的性質および単調性にどのように影響するか？

主な発見

• 単調で負の端を持つすべてのラグランジュ・コボルディズムは、ターム・レフシェッツ・ファイブレーション内において、導来フューカイヤ・カテゴリ $D\mathcal{F}uk^*(E)$ の対象を生成し、分解結果を確立する。
• $D\mathcal{F}uk^*(\Sigma^{(\lambda_1)})$ 内で、同型 $S^{(\lambda_1)} \cong \textnormal{cone}(S_1 \otimes E \to L^{(\lambda_1)})$ が成り立つ。ここで $S_1$ は消滅サイクルであり、$E = HF(\hat{S}_1, W)$ は1次元空間である。
• $\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1$ 内で、スプリット・トーラス $T$ は $D\mathcal{F}uk^*(M)$ 内で $\textnormal{cone}(S \to S)$ に同型である。ここで $S$ は反対角ラグランジュ・スフィアである。
• この構成により、セイデルのデーン回転関係と、自明なファイブレーションからの以前のコボルディズム関係が、レフシェッツ・ファイブレーションを介した一様な枠組みに統合される。
• 三つや四つの臨界値を持つコボルディズムは、両端がスフィアまたはトーラスであっても、非自明な位相的性質を持つように構成可能である。
• 平行移動とコーン分解を用いて示されたように、$D\mathcal{F}uk^*(M)$ のグローテンディーク群は、コボルディズムによって誘導されるラグランジュ部分多様体の像によって生成される。