[論文レビュー] Lagrangian potential theory and a Lagrangian equation of Monge-Ampère type

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Gromov-compatibleな計量を備えたシンプレクティック多様体上で、ヘッセ行列のトレースと歪複素構造部分にのみ依存する、ラグランジュ的でないMonge-Ampère作用素を定義する新しいラグランジュ的ポテンシャル理論を導入する。この作用素は、$N = 2^n$ 個の分岐を持つ同次多項式として定義され、すべての分岐についてディリクレ問題の解の存在と一意性を確立する。これは、複素空間 $5Cmathbb{C}^n$ とGromov多様体への応用を含む、古典的複素ポテンシャル理論のラグランジュ的設定への一般化である。主な貢献は、ディリクレ問題の完全な解法と、ラグランジュ部分空間を用いた作用素の幾何的特徴付けの確立である。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a Lagrangian potential theory, analogous to the classical pluripotential theory, and to define and study a Lagrangian differential operator of Monge-Ampere type. This development is new even in ${\bf C}^n$. However, it applies quite generally -- perhaps most importantly to symplectic manifolds equipped with a Gromov metric. The Lagrange Monge-Ampere operator is an explicit polynomial on ${ m Sym}^2(TX)$ whose principle branch defines the space of Lag-harmonics. Interestingly the operator depends only on the Laplacian and the SKEW-Hermitian part of the Hessian. The Dirichlet problem for this operator is solved in both the homogeneous and inhomogeneous cases. The homogeneous case is also solved for each of the other branches. This paper also introduces and systematically studies the notions of Lagrangian plurisubharmonic and harmonic functions, and Lagrangian convexity. An analogue of the Levi Problem is proved. In ${\bf C}^n$ there is another concept, Lag-plurihamonics, which relate in several ways to the harmonics on any domain. Parallels of this Lagrangian potential theory with standard (complex) pluripotential theory are constantly emphasized.

研究の動機と目的

• 複素幾何における古典的複素ポテンシャル理論に類似するラグランジュ的ポテンシャル理論を、シンプレクティック多様体上で構築すること。
• Gromov-compatibleな計量を備えたシンプレクティック多様体上で、ラグランジュ的Monge-Ampère型微分作用素を定義し、その性質を研究すること。
• 有界な領域において、境界が厳密にラグランジュ的凸である場合の、ラグランジュ的Monge-Ampère方程式の同次および非同次ケースのディリクレ問題を解くこと。
• ラグランジュ的擬上膜関数および調和関数、およびラグランジュ的凸性の概念を導入し、それらを分析すること。
• ラグランジュ的設定におけるレヴィ問題の類似を証明し、擬凸性の幾何的特徴付けを確立すること。

提案手法

• ラグランジュ的Monge-Ampère作用素は、$\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^{2n})$ 上の同次多項式として定義され、$N = 2^n$ 次であり、ヘッセ行列のトレースと歪複素構造部分にのみ依存する。
• 作用素の主分岐は、すべてのラグランジュ的 $n$-次元部分空間 $W$ に対して $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ を満たす行列 $A$ の集合として幾何的に特徴づけられる。
• 2つの内在的構成が与えられる：1つは $\mathrm{Spin}^c$-バンドル $\Lambda^{0,*}(X)$ を通じる方法、もう1つは $\Lambda^n_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^{2n}$ 上の導分を用いる方法であり、両者ともGromov多様体上で同一の作用素を生成する。
• 作用素は単位行列に関してG {\i}rding双曲的であることが示され、$\Lambda_k(A) \geq 0$ を満たす $N$ 個のネストされた部分方程式が得られる。
• 境界上で厳密なラグランジュ的凸性条件を満たす場合、粘性解を用いて各 $N$ 個の分岐についてディリクレ問題を解き、解の存在と一意性を保証する。
• すべてのラグランジュ的平面におけるヘッセ行列の条件を用いて、ラグランジュ的擬上膜関数の概念を定義し、上半連続関数に対して粘性テスト関数を用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体上のラグランジュ的設定において、複素ポテンシャル理論に類似する理論を構築することは可能か？
• RQ2 ラグランジュ的Monge-Ampère作用素の内在的構造は何か？また、ラグランジュ的部分空間の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 境界が幾何的凸性条件を満たす場合、ラグランジュ的Monge-Ampère方程式のディリクレ問題は一意な解を持つだろうか？
• RQ4 ラグランジュ的擬上膜関数は、最小ラグランジュ的部分多様体上での上膜関数性とどのように関係するか？
• RQ5 レヴィ問題に類似する、ラグランジュ的設定における擬凸性の幾何的特徴付けは存在するか？

主な発見

• ラグランジュ的Monge-Ampère作用素 $\mathrm{M}_{\mathrm{Lag}}(D^2u)$ は、$\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^{2n})$ 上の $2^n$ 次の同次多項式であり、すべてのラグランジュ的 $n$-次元部分空間 $W$ に対して $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ を満たす行列 $A$ の集合として幾何的に特徴づけられる。
• 作用素は $\mathrm{tr}(A)$ と歪複素構造部分 $A^{\mathrm{skew}}$ のみに依存し、トレースがゼロであるヘルミート対称行列の加法に対して不変である。
• 作用素は単位行列に関してG {\i}rding双曲的であり、$N = 2^n$ 個のネストされた部分方程式 $\Lambda_k(D^2u) \geq 0$ を得る。各部分方程式は方程式の1つの分岐に対応する。
• 任意の滑らかに有界な領域 $\Omega \subset\subset \mathbb{C}^n$ で、境界が厳密にラグランジュ的凸である場合、各 $k = 1, \dots, N$ に対して同次ディリクレ問題 $\Lambda_k(D^2u) = 0$ は一意に解かれる。
• 境界の凸性条件は $k$ が $N$ から $N/2$ に減少するにつれて緩和され、$k = N/2$ のときが最も弱い条件となる。
• 任意のGromov多様体 $X$ において、$X$ 上に滑らかで、properで、厳密にラグランジュ的擬上膜関数である自己無限関数が存在する限り、同じ条件下でディリクレ問題は解かれる。