[論文レビュー] Large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|Sep 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$ 上の確率環境における無作為ウォーク（RWRE）について、クエンチドおよびアベレージドの両方の行動を分析し、大偏差原理（LDP）を確立する。クエンチドLDPは、環境マルコフ連鎖の経験測度を用いて証明され、クエンチドレート関数の変分公式が導出される。非ネスティングまたはカリコフの条件下では、アベレージドレート関数は強く凸かつ解析的であり、その最小化子が同定される。高次元（$d \geq 3+1$）では、クエンチドおよびアベレージドLDPが非空な内部を持つ集合上で一致し、環境連鎖のドゥーブ $h$-変換を用いて達成される。

ABSTRACT

In this work, we study the large deviation properties of random walk in a random environment on $\mathbb{Z}^d$ with $d\geq1$. We start with the quenched case, take the point of view of the particle, and prove the large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function $I_q$. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. This Ansatz is easily verified when $d=1$. In his 2003 paper, Varadhan proves the averaged LDP for the mean velocity and gives a variational formula for the corresponding rate function $I_a$. Under the non-nestling assumption (resp. Kalikow's condition), we show that $I_a$ is strictly convex and analytic on a non-empty open set $\mathcal{A}$, and that the true velocity $ξ_o$ is an element (resp. in the closure) of $\mathcal{A}$. We then identify the minimizer of Varadhan's variational formula at any $ξ\in\mathcal{A}$. For walks in high dimension, we believe that $I_a$ and $I_q$ agree on a set with non-empty interior. We prove this for space-time walks when the dimension is at least 3+1. In the latter case, we show that the cheapest way to condition the asymptotic mean velocity of the particle to be equal to any $ξ$ close to $ξ_o$ is to tilt the transition kernel of the environment Markov chain via a Doob $h$-transform.

研究の動機と目的

• RWREの平均速度に対するクエンチド測度の下での大偏差原理（LDP）の確立。
• 環境マルコフ連鎖のペア経験測度を用いて、クエンチドレート関数 $I_q$ の変分公式の導出。
• アベレージドLDPの分析と、アベレージドレート関数 $I_a$ が強く凸かつ解析的となる条件の同定。
• クエンチドおよびアベレージドLDPの関係、特に高次元における関係の調査。
• 非ネスティングまたはカリコフの条件下で、$I_a$ のバーダハンの変分公式の最小化子の同定。

提案手法

• 対数モーメント母関数と縮約原理を用いて、クエンチド測度の下で環境マルコフ連鎖のペア経験測度に対するLDPを証明する。
• 環境マルコフ連鎖の不変測度の上での最小化により、クエンチドレート関数 $I_q$ の変分公式を導出する。
• $I_q$ の最小化子のためのアンサッツを提示し、1次元の場合に明示的に検証する。
• 非ネスティングまたはカリコフの条件下で、非空な開集合 $\mathcal{A}$ 上でアベレージドレート関数 $I_a$ の強凸性および解析性を確立する。
• 環境マルコフ連鎖のドゥーブ $h$-変換を用いて、$I_a$ のバーダハンの変分公式の最小化子を、任意の $\xi \in \mathcal{A}$ に対して特定する。
• 空間時間RWREの高次元（$d \geq 3+1$）において、クエンチド測度の下での環境連鎖が元の連鎖のドゥーブ $h$-変換であることを示すことにより、クエンチドおよびアベレージドLDPの等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RWREの平均速度に対するクエンチドLDPは、どのような条件下で成立し、そのレート関数の構造は何か？
• RQ2 高次元におけるクエンチドレート関数 $I_q$ とアベレージドレート関数 $I_a$ の関係は？
• RQ3 アベレージドレート関数 $I_a$ が強く凸かつ解析的となる条件は何か？また、真の速度 $\xi_o$ は解析的領域の内部かその閉包内にあるか？
• RQ4 $I_a$ のバーダハンの変分公式の最小化子は何か？また、どのように特徴づけられるか？
• RQ5 空間時間設定において、クエンチドおよびアベレージドLDPが一致する条件は何か？

主な発見

• RWREの平均速度に対するクエンチドLDPは、環境マルコフ連鎖のペア経験測度に対するLDPを用いて確立される。
• クエンチドレート関数 $I_q$ の変分公式が導出され、その最小化子のアンサッツが提示され、1次元の場合に明示的に検証される。
• 非ネスティング仮定またはカリコフの条件下では、アベレージドレート関数 $I_a$ は非空な開集合 $\mathcal{A}$ 上で強く凸かつ解析的であり、$\xi_o \in \mathcal{A}$ またはその閉包内にある。
• バーダハンの変分公式の最小化子は、環境マルコフ連鎖のドゥーブ $h$-変換によって得られる不変測度として特定される。
• 空間時間RWREにおいて次元 $d \geq 3+1$ では、クエンチドおよびアベレージドLDPが非空な内部を持つ集合上で等価であり、クエンチド測度の下での環境連鎖が元の連鎖のドゥーブ $h$-変換であることが示される。
• クエンチド不変測度 $\mu_\xi^\infty$ の周辺測度 $\mu_\xi^1$ は、すべての $\mathcal{B}_{-N}^+$ 上で $\mathbb{P}$ に対して絶対連続であることが確認され、$h$-変換構造が裏付けられる。