[論文レビュー] Large deviations from a stationary measure for a class of dissipative PDE's with random kicks

Vojkan Jakšić, Vahagn Nersesyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界で非退化な確率的キックによって摂動される散乱型PDE（例：2次元ナビエ＝ストークス方程式）から生成されるマコフ過程の滞在測度に対して、大偏差原理（LDP）を確立する。キファーの基準、リャプノフ＝シュミットの還元、一般化されたマコフ半群の漸近解析を用いて、著者らは時間平均化された経験測度が、コンパクト集合上でのみ有限な良いレート関数を持つLDPを満たすことを証明する。これは、定常測度からのオーダー1の逸脱を示すレアイベントを特徴づける。

ABSTRACT

We study a class of dissipative PDE's perturbed by a bounded random kick force. It is assumed that the random force is non-degenerate, so that the Markov process obtained by the restriction of solutions to integer times has a unique stationary measure. The main result of the paper is a large deviation principle for occupation measures of the Markov process in question. The proof is based on Kifer's large deviation criterion, a Lyapunov-Schmidt type reduction, and an abstract result on large-time asymptotic for generalised Markov semigroups.

研究の動機と目的

• 散乱型PDEに確率的キック力が加えられた場合の、マコフ過程の滞在測度に大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 時間平均化された経験測度が定常測度から逸脱する確率の指数的減衰率を特徴づけること。
• 中心極限定理やiterated logarithmの法則を超えて、オーダー1の逸脱に注目した、確率的PDEにおけるレアイベントの理解を拡張すること。
• 2次元ナビエ＝ストークス方程式やギンツブルグ＝ランダウ方程式などの系に適用可能な一般化された枠組みを構築すること。

提案手法

• キファーの大偏差原理基準を応用し、一般化されたマコフ半群の長時間漸近挙動の解析に帰着することで、LDP問題を簡略化する。
• 有限次元射影における動的簡略化を可能にするリャプノフ＝シュミット型還元を用いることで、半群の挙動を制御する。
• 遷移確率の正則性と収束を保証するため、マコフ過程に一様Feller性を導入する。
• 確率測度の空間における逆極限位相を用いて、有限次元LDPの射影極限を構成する。
• 有限次元近似の極限をとることで、無限次元系全体に対するLDPを証明し、指数的同等性を検証する。
• ダウソン＝ガーテナーの定理を用いて、有限次元射影からのLDPを、確率測度の全パス空間へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的駆動を受ける散乱型PDEの解の時間平均経験測度が、定常測度からオーダー1逸脱する確率の減衰率は何か？
• RQ2 有界な確率的キック力が加えられた散乱型PDEから生成されるマコフ過程の滞在測度に対して、大偏差原理を確立できるか？
• RQ3 確率的駆動の構造（非退化、有界、i.i.d.キック）は、定常測度およびLDPレート関数の存在・一意性にどのように影響するか？
• RQ4 有限次元射影におけるLDPから、無限次元系全体に対するLDPをどの程度まで導けるか？

主な発見

• マコフ過程の滞在測度は、確率測度空間のコンパクト部分集合上でのみ有限な良いレート関数を持つ大偏差原理を満たす。
• レート関数は、$ I(\boldsymbol{\sigma}) = \sup_{m \geq 1} I_m(\boldsymbol{\sigma} \circ p_m^{-1}) $ として有限次元射影の上での上界として特徴づけられ、下半連続性とコンパクトなレベル集合を保証する。
• LDPは初期条件に一様に成り立ち、Kantorovich-Wasserstein距離において定常測度への収束が指数的に速い。
• 2次元ナビエ＝ストークス系およびギンツブルグ＝ランダウ方程式に、有界な$L^2$ノルムを持つ非退化な確率的キック力が加えられた場合に本結果は適用可能である。
• 証明は、ダウソン＝ガーテナーの定理と射影間での一様指数的同等性を活用した射影極限の議論により、LDPを確立する。