[論文レビュー] Large deviations of empirical measures of diffusions in weighted topologies

Grégoire Ferré, Gabriel Stoltz|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 110被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非有界関数に関連する重み付き位相における拡散過程の経験測度のための大偏差原理（LDP）を、Donsker–Varadhan型の変分公式と、レート関数を対称的および反対称的成分に分解する新規な手法を用いて確立する。主な貢献は、Witten–Schrödinger作用素のスペクトルギャップ条件とLDPを結びつける一般化された枠組みを提供することであり、非有界空間におけるLangevinダイナミクスを含む退化した拡散過程への応用が可能である。

ABSTRACT

We consider large deviations of empirical measures of diffusion processes. In a first part, we present conditions to obtain a large deviations principle (LDP) for a precise class of unbounded functions. This provides an analogue to the standard Cram\\'er condition in the context of diffusion processes, which turns out to be related to a spectral gap condition for a Witten-Schr\\"odinger operator. Secondly, we study more precisely the properties of the Donsker-Varadhan rate functional associated with the LDP. We revisit and generalize some standard duality results as well as a more original decomposition of the rate functional with respect to the symmetric and antisymmetric parts of the dynamics. Finally, we apply our results to overdamped and underdamped Langevin dynamics, showing the applicability of our framework for degenerate diffusions in unbounded configuration spaces.

研究の動機と目的

• 非有界関数によって定義される重み付き位相における拡散過程の経験測度のための大偏差原理（LDP）を導出すること。
• 非対称な拡散生成作用素の主固有値のための変分表現を提供し、自由エネルギー双対と関連づけたDonsker–Varadhanレート関数を特徴づけること。
• Sobolev半ノルムを用いて、一般の拡散作用素に対してレート関数の可逆的および非可逆的成分への分解を一般化すること。
• 非有界配置空間における過減衰および下減衰Langevinダイナミクスを含む、退化した拡散過程への枠組みの適用性を示すこと。

提案手法

• 非有界テスト関数に対して、制限自由エネルギー関数の存在およびGateau微分可能性を確立することで、Gärtner–Ellis定理を用いてLDPを導出する。
• Legendre–Fenchel変換を用いて、レート関数と自由エネルギー関数の間に双対性を確立し、Donsker–Varadhan公式を非有界設定に一般化する。
• Sobolev半ノルムを用いて、非対称な2階微分作用素の主固有値の変分表現を導入し、ダイナミクスの対称的および反対称的成分を分離する。
• 重み付き関数を用いたLyapunov関数技法を適用して、弱位相におけるレベル集合の指数的緊密性とコンパクト性を保証する。
• Girsanovの定理とTchebychevの不等式を用いて、LDPの下界および上界を構築し、重み付き位相における収束を保証する。
• 過減衰および下減衰Langevinダイナミクスに対して、スペクトルギャップおよびコンfinement条件の検証を通じて、枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界関数による重み付き位相における拡散過程の経験測度のための大偏差原理が、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 非コンパクトかつ非有界な設定において、Donsker–Varadhanレート関数は自由エネルギー関数との双対性によってどのように表現できるか？
• RQ3 一般の拡散生成作用素に対して、Sobolev半ノルムを用いてレート関数を可逆的および非可逆的成分に分解できるか？
• RQ4 Langevinダイナミクスなどの退化した拡散過程が非有界空間に存在する場合、LDPの有効性を保証するスペクトル的またはコンfinement条件は何か？

主な発見

• 自然なコンfinement条件および正則性条件の下で、非有界関数に関連する重み付き位相における拡散過程の経験測度のための大偏差原理が確立された。
• レート関数が自由エネルギー関数のLegendre–Fenchel変換として与えられることを示し、Donsker–Varadhan双対性が非有界テスト関数にまで拡張された。
• 非対称な拡散作用素が非有界領域に存在する場合にも有効な、生成作用素の主固有値の変分表現が導出された。
• レート関数はダイナミクスの対称的および反対称的成分に分解可能であり、反対称的成分はSobolev半ノルムを用いて非可逆的寄与を捉えることができる。
• 過減衰および下減衰Langevinダイナミクスへの適用を通じて、スペクトルギャップおよびLyapunov条件の下で良いレート関数の存在が確認された。
• Langevinダイナミクスにおいて、レート関数が弱位相において有限かつコンパクトに台を持つことが示され、Lyapunov関数および重み付きノルムを用いて明示的な境界が導出された。