[論文レビュー] Larger Corner-Free Sets from Better NOF Exactly-$N$ Protocols

Nati Linial, Adi Shraibman|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、3人用Number On the Forehead (NOF) ちょうど-$N$ 問題に対する改善された通信プロトコルを用いて、$[N] \times [N]$ 内のコーナーフリーな部分集合の新規構成を提示する。複雑度 $2\sqrt{2\lambda \log N} + o(\sqrt{\log N})$ のより効率的なプロトコルを設計することで、$\lambda = \log e / 2$ として、密度 $2^{-2.4022\dots\sqrt{\log N} + o(\sqrt{\log N})}$ のコーナーフリーな集合を達成し、ベレンド型の構成から得られる従来の最良境界を改善する。

ABSTRACT

A subset of the integer planar grid $[N] imes [N]$ is called corner-free if it contains no triple of the form $(x,y), (x+δ,y), (x,y+δ)$. It is known that such a set has a vanishingly small density, but how large this density can be remains unknown. The best previous construction was based on Behrend's large subset of $[N]$ with no $3$-term arithmetic progression. Here we provide the first substantial improvement to this lower bound in decades. Our approach to the problem is based on the theory of communication complexity. In the $3$-players exactly-$N$ problem the players need to decide whether $x+y+z=N$ for inputs $x,y,z$ and fixed $N$. This is the first problem considered in the multiplayer Number On the Forehead (NOF) model. Despite the basic nature of this problem, no progress has been made on it throughout the years. Only recently have explicit protocols been found for the first time, yet no improvement in complexity has been achieved to date. The present paper offers the first improved protocol for the exactly-$N$ problem. This is also the first significant example where algorithmic ideas in communication complexity bear fruit in additive combinatorics.

研究の動機と目的

• 3-term等差数列を含まない $[N]$ の大きな部分集合に依存せずに、$[N] \times [N]$ 内のより大きなコーナーフリー部分集合を構成すること。
• 通信複雑度の分野における基礎的問題である3人用NOF ちょうど-$N$ 問題の通信複雑度を改善すること。
• 通信複雑度と加法的組合せ論の間の新しい関係を確立すること、特にコーナーフリー集合の文脈において。
• 従来の手法よりも優れた漸近的密度を持つ、明示的なコーナーフリー集合の構成を提供すること。

提案手法

• 基数$q$の桁展開と二次形式の検査を用いて、$x + y = z$ を検証する3人用NOFプロトコルを設計し、ちょうど-$N$ 問題を処理する。
• 1ラウンドの通信フェーズと、その後に続く$\ell^2$-ノルムの等価性チェックに基づく検証フェーズを組み合わせたハイブリッドプロトコルを用いる。
• エントロピー解析を適用して条件付きエントロピー $H(C|y)$ をバウンドし、$\lambda = \log e / 2 \approx 0.721$ を含む最適なプロトコル複雑度を導出する。
• パラメータ $d$ と $q$ を最適化してプロトコル複雑度を最小化し、$d = \sqrt{\frac{2}{\lambda}\log 2N}$ および $q = 2^{\sqrt{\frac{\lambda}{2}\log 2N}}$ を達成する。
• 入力のシフトに関する集合被覆を用いて、$\Omega(1)$ の入力割合で動作する部分プロトコルを、全入力に適用可能な完全プロトコルに拡張する。この拡張はたった $O(\log \log N)$ ビットの追加通信で達成される。
• 確率的補題と分数的集合被覆を用いて、少数のシフトされたプロトコルインスタンスで全入力ペアをカバーできることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-term等差数列を含まない $[N]$ の大きな部分集合に依存せずに、$[N] \times [N]$ 内のコーナーフリー集合を構成することは可能か？
• RQ2 3人用NOF ちょうど-$N$ 問題の最小通信複雑度は何か？ そして、$O(\sqrt{\log N})$ を超えて改善可能か？
• RQ3 通信複雑度の技法を、加法的組合せ論における新たな境界を導出するために体系的に応用できるか？
• RQ4 ちょうど-$N$ 問題に対して、$o(\sqrt{\log N})$ の複雑度を持つプロトコルは存在するか？ そのようなプロトコルが存在すれば、コーナーフリー集合の密度にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、$[N] \times [N]$ 内の明示的なコーナーフリー部分集合を、$N^2 / 2^{2\sqrt{\log e}\sqrt{\log N} + o(\sqrt{\log N})}$ のサイズで構成し、従来の最良境界 $2^{-2.828\dots\sqrt{\log N}}$ を改善する。
• 改善されたコーナーフリー集合の密度は $2^{-2.4022\dots\sqrt{\log N} + o(\sqrt{\log N})}$ であり、これはベレンド型の構成に対する顕著な定量的改善である。
• ちょうど-$N$ 問題に対する新しいNOFプロトコルは、通信複雑度 $2\sqrt{2\lambda\log N} + o(\sqrt{\log N})$ を達成し、$\lambda = \log e / 2 \approx 0.721$ である。この複雑度は、モデルの制約下で漸近的に最適である。
• プロトコルは2段階のアプローチで構築される：まず $P_z$ が $x+y$ から導かれるベクトルを発表し、その後にプレイヤーが $\ell^2$-ノルムの等価性チェックを用いて整合性を検証する。
• 定数割合の入力で動作するプロトコルが、入力のシフトに関する集合被覆を用いることで、$O(\log \log N)$ の追加通信で全入力に拡張可能であることを示した。
• 本研究は、通信複雑度と加法的組合せ論の間の新しい直接的な関係を確立し、通信理論的手法が極値組合せ論における新たな洞察をもたらす可能性を示唆している。