[論文レビュー] Lattice p-Form Electromagnetism and Chain Field Theory

Derek K. Wise|ArXiv.org|Oct 8, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アーベル群のチェーン複体を用いてp形式電磁力学の離散的定式化を導入し、規則的格子にとどまらない任意の離散時空に一般化された格子ゲージ理論を可能にする。主な貢献は、『チェーン場理論』の構築である。これはトポロジカル量子場理論の離散的類似であり、時空スライス間の時間発展をサポートし、ホッジ理論とコhomological構造によって保証される収束を伴うユークリッド経路積分による量子化を可能にする。

ABSTRACT

Since Wilson's work on lattice gauge theory in the 1970s, discrete versions of field theories have played a vital role in fundamental physics. But there is recent interest in certain higher dimensional analogues of gauge theory, such as p-form electromagnetism, including the Kalb-Ramond field in string theory, and its nonabelian generalizations. It is desirable to discretize such `higher gauge theories' in a way analogous to lattice gauge theory, but with the fundamental geometric structures in the discretization boosted in dimension. As a step toward studying discrete versions of more general higher gauge theories, we consider the case of p-form electromagnetism. We show that discrete p-form electromagnetism admits a simple algebraic description in terms of chain complexes of abelian groups. Moreover, the model allows discrete spacetimes with quite general geometry, in contrast to the regular cubical lattices usually associated with lattice gauge theory. After constructing a suitable model of discrete spacetime for p-form electromagnetism, we quantize the theory using the Euclidean path integral formalism. The main result is a description of p-form electromagnetism as a `chain field theory' -- a theory analogous to topological quantum field theory, but with chain complexes replacing manifolds. This, in particular, gives a notion of time evolution from one `spacelike slice' of discrete spacetime to another.

研究の動機と目的

• 規則的な立方格子にとどまらない、任意の離散的時空に一般化された、p形式電磁力学の離散的かつゲージ不変な定式化を構築すること。
• n-複体を用いた離散的時空モデルを構築し、規則的格子に限らない任意の幾何的構造を支持すること。
• 離散的時空上でのp形式電磁力学の量子化手順を、ユークリッド経路積分形式を用いて提供すること。
• 多様体をチェーン複体に置き換えることで、トポロジカル量子場理論を一般化する枠組み「チェーン場理論」を確立すること。
• ホッジ理論とコhomological基準を用いて、p+1次元における離散化不変性と経路積分の収束を示すこと。

提案手法

• 離散的時空をn-複体としてモデル化し、p-セルがp次元幾何的要素を表すように一般化する。
• p形式場をコチェーン複体内のコチェーンとして表現し、外微分dをチェーン群間の境界作用素として実現する。
• 連続的マクスウェル作用素に類似した、コチェーン上の二次形式を用いて、離散的p形式電磁力学の作用を定義する。
• トーラス上でのガウス型経路積分形式を適用し、期待値を計算する。対称的で正定値の行列およびその逆行列の構造を活用する。
• ホッジの定理とコhomological分解を用いて、経路積分の収束を分析し、位相的不変性を保証する。
• 作用原理から離散的p形式マクスウェル方程式を導出し、連続極限と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p形式電磁力学を、ゲージ不変性を保ちつつ、任意の時空幾何を許容するように離散化する方法は何か？
• RQ2 規則的格子が引き起こす対称性の破れを回避し、微分同相型不変性を支持する離散的時空モデルを構築できるか？
• RQ3 p形式場に対して適切なトポロジカル量子場理論の離散的類似は何か？
• RQ4 離散的p形式電磁力学に対して、ユークリッド経路積分をどのように定義し、収束を示せるか？
• RQ5 コhomologyは、量子論における離散化不変性と位相的不変性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、アーベル群のチェーン複体を用いた代数的定式化によって、連続的場理論の厳密な離散的類似が可能であることを確立した。
• 作用素における二次形式が正定値である限り、U(1) p形式電磁力学の経路積分は収束し、物理的アムプリチュードが適切に定義される。
• 本モデルは、規則的立方格子に制限されない任意の離散的時空を支持するため、より広い幾何的離散化のクラスをカバーする。
• 理論はp+1次元において離散化不変性を示し、物理的観測量が特定の離散的時空構造の選択に依存しない。
• チェーン場理論の枠組みにより、1つの時空スライスから別のスライスへの時間発展の概念が一般化され、離散場理論における力学の概念が拡張される。
• 離散的設定においてもp形式ボーム＝アハラノフ効果が回復され、コhomological不変量を通じて理論の位相的性質が確認された。