[論文レビュー] Lattices, injective metrics and the $K(π,1)$ conjecture

Thomas Haettel|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2021

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、型 $\widetilde{A_n}$, $\widetilde{C_n}$, $\widetilde{B_n}$, $\widetilde{D_n}$ のユークリッド的ビルディングおよびデリーニュ複体における $ι^\infty$-距離が単射的であり、それらの太さを加えたもののHelly図であることを確立する。$Ω$-作用を伴う格子からの一般構成を用いて、ガーシド群およびFC型アーティン群が単射的距離空間に作用することを証明し、$K(\pi,1)$予想の距離的証明および、二重組合性、放物型部分群、固定点部分群に関する新規結果をもたらす。

ABSTRACT

Starting with a lattice with an action of $\mathbb{Z}$ or $\mathbb{R}$, we build a Helly graph or an injective metric space. We deduce that the $\ell^\infty$ orthoscheme complex of any bounded graded lattice is injective. We also prove a Cartan-Hadamard result for locally injective metric spaces. We apply this to show that any Garside group or any FC type Artin group acts on an injective metric space and on a Helly graph. We also deduce that the natural piecewise $\ell^\infty$ metric on any Euclidean building of type $ ilde{A_n}$ extended, $ ilde{B_n}$, $ ilde{C_n}$ or $ ilde{D_n}$ is injective, and its thickening is a Helly graph. Concerning Artin groups of Euclidean types $ ilde{A_n}$ and $ ilde{C_n}$, we show that the natural piecewise $\ell^\infty$ metric on the Deligne complex is injective, the thickening is a Helly graph, and it admits a convex bicombing. This gives a metric proof of the $K(π,1)$ conjecture, as well as several other consequences usually known when the Deligne complex has a CAT(0) metric.

研究の動機と目的

• 順序を保つ $H = \mathbb{Z}$ または $\mathbb{R}$ の作用を伴う格子 $L$ から単射的距離空間およびHelly図を一般に構成する方法を開発すること。
• 型 $\widetilde{A_n}$, $\widetilde{B_n}$, $\widetilde{C_n}$, $\widetilde{D_n}$ のユークリッド的ビルディングにおける $ι^\infty$-距離が単射的であることを証明すること。
• 型 $\widetilde{A_n}$ および $\widetilde{C_n}$ のユークリッド的アーティン群のデリーニュ複体が、凸的で一貫性があり、$A$-不変な二重組合性をもつことを示すこと。
• これらのアーティン群に対して、距離的アプローチにより $K(\pi,1)$ 予想が成り立つことを確立すること。

提案手法

• 連続的かつ単調増加な $H$-作用 $f_t$ を伴う、$H = \mathbb{Z}$ または $\mathbb{R}$ の順序を保つ作用をもつ格子 $L$ における距離 $d(x,y) = \inf\{t \in H_+ \mid f_{-t}(x) \leq y \leq f_t(x)\}$ を構成すること。
• 上界付き集合が上限をもつという条件下で、$H = \mathbb{Z}$ のときこの距離がHelly図を、$H = \mathbb{R}$ のとき単射的距離空間をもたらすことを証明すること。
• この構成をユークリッド的ビルディングのフラットの格子およびアーティン群における放物型部分群の順序集合に適用すること。
• 型 $\widetilde{A_n}$ および $\widetilde{C_n}$ のデリーニュ複体における自然な局所的 $\ell^\infty$-距離が単射的であり、凸的で一貫性があり、$A$-不変な測地的二重組合性をもつことを示すこと。
• このような二重組合性の存在を用いて、デリーニュ複体の可縮性を導出し、$K(\pi,1)$ 予想を裏付けること。
• 部分複体の $σ$-安定性と $A$-不変な二重組合性を活用して、放物型部分群、中心化部分群、固定点部分群に関する結果を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド的アーティン群の $K(\pi,1)$ 予想は、CAT(0)幾何学ではなく単射的距離幾何学を用いて証明可能か？
• RQ2 型 $\widetilde{A_n}$, $\widetilde{B_n}$, $\widetilde{C_n}$, $\widetilde{D_n}$ のユークリッド的ビルディングにおける自然な局所的 $\ell^\infty$-距離は単射的か？
• RQ3 型 $\widetilde{A_n}$ および $\widetilde{C_n}$ のユークリッド的アーティン群のデリーニュ複体は、凸的で一貫性があり、$A$-不変な測地的二重組合性をもつか？
• RQ4 デリーニュ複体に凸的二重組合性が存在するという事実を用いて、アーティン群の放物型部分群、中心化部分群、固定点部分群に関する結果を拡張可能か？
• RQ5 ガーシド群およびアーティン群の文脈において、Helly性、単射的距離、群作用の関係は何か？

主な発見

• 型 $\widetilde{A_n}$, $\widetilde{B_n}$, $\widetilde{C_n}$, $\widetilde{D_n}$ の任意のユークリッド的ビルディングにおける自然な局所的 $\ell^\infty$-距離は単射的である。
• このようなビルディングの頂点集合の太さを加えたものはHelly図である。
• 型 $\widetilde{A_n}$ または $\widetilde{C_n}$ のユークリッド的アーティン群のデリーニュ複体は、凸的で一貫性があり、$A$-不変な測地的二重組合性をもつ。
• デリーニュ複体は可縮的であり、これによりこれらの群に対する $K(\pi,1)$ 予想の距離的証明が得られる。
• これらのアーティン群における任意の放物型部分群の族の共通部分集合は、再び放物型部分群である。
• アーティン系における対称的作用の固定点部分群は、低ランクのアーティン群に同型であり、DigneおよびCrispの結果を一般化する。