[論文レビュー] Lax Diagrams and Enrichment

Hugo V. Bacard|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称的モノイド的モデル圏 $\mathscr{M}$ における弱く豊饗された圏としての Co-Segal 圏を、$2$-圏 $\mathbb{S}_{\overline{X}}^{2\text{-op}}$ から $\mathscr{M}$ への lax ファンクターを用いて定義し、双対化された Segal 条件を満たすものとして導入する。主な貢献は、Pre-Co-Segal 圏の圏に cofibrantly generated なモデル構造を構成し、そのファイブレーション対象が正確に Co-Segal 圏となることにより、高次線形圏のためのホモトピー理論を可能にするものである。

ABSTRACT

We introduce a new type of weakly enriched categories over a given symmetric monoidal model category M; these are called Co-Segal categories. Their definition derives from the philosophy of classical (enriched) Segal categories. We study their homotopy theory by giving a model structure on them. One of the motivations of introducing these structure was to have an alternative definition of higher linear categories following Segal-like methods.

研究の動機と目的

• 対称的モノイド的モデル圏 $\mathscr{M}$ における弱く豊饗された圏のためのホモトピー理論を構築すること。これは、高次線形圏の必要性に由来する。
• 非カルテジアンなモノイド構造における Segal 射の非自然性を解消するため、'Co-Segal' 形式による Segal 条件の双対化を実現すること。
• Co-Segal 圏を、$\mathcal{C}: (\mathbb{S}_{\overline{X}})^{2\text{-op}} \to \mathscr{M}$ と表される lax 同型写像として定義し、古典的 Segal 圏の双対的 coherence 条件を満たすものとする。
• Pre-Co-Segal 圏の圏にモデル構造を確立し、そのファイブレーション対象が正確に Co-Segal 圏となるようにすること。
• 非カルテジアンな設定における Segal に類似した方法を用いて、高次線形圏の基礎を築くこと。

提案手法

• Co-Segal 圏を、$\mathbb{S}_{\overline{X}}$ が $\Delta_{\text{epi}}$ 上の $2$-圏であるとき、$\mathcal{C}: (\mathbb{S}_{\overline{X}})^{2\text{-op}} \to \mathscr{M}$ と表される lax ファンクターとして定義し、古典的 Segal 条件の双対化を実行する。
• Co-Segal 条件を満たさない lax ファンクターとして Pre-Co-Segal 圏を定義し、$\mathscr{M}_{\mathbb{S}}(\mathbf{Set})$ と表される圏を形成する。
• $\mathcal{O}$-代数とその lax 同型写像の言語を用いて、特に $\operatorname{Lax}_{\mathcal{O}\text{-alg}}(\mathcal{C}, \mathcal{M})$ の文脈において、$\mathcal{O}$-代数の構造を記述し、lax ファンクターの構造をモデル化する。
• $\mathscr{M}$ が cofibrantly generated で、すべての対象が cofibrant であると仮定して、$\mathscr{M}_{\mathbb{S}}(\mathbf{Set})$ に cofibrantly generated モデル構造を構成する。
• ファイブレーション対象が正確に Co-Segal 圏であることを、$\kappa$-有向系の lax 図式からの $\mathcal{F}^\infty$ の超限列挙の構成を用いて証明する。
• ファイブレーション対象の包含が Quillen 同値であり、$\mathscr{M}$ が combinatorial である場合にはモデル構造が combinatorial であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積がカルテジアンでないとき、対称的モノイド的モデル圏 $\mathscr{M}$ における弱く豊饗された圏のためのホモトピー理論をどのように定義できるか？
• RQ2 非カルテジアンな設定における弱い合成の整合的理論を可能にするために、正しい Segal 条件の双対化とは何か？
• RQ3 lax ファンクター $\mathcal{C}: (\mathbb{S}_{\overline{X}})^{2\text{-op}} \to \mathscr{M}$ の圏に、ファイブレーション対象が Co-Segal 条件を満たすようなモデル構造を構成できるか？
• RQ4 $\mathscr{M}$ にどのような条件を課すと、Pre-Co-Segal 圏のモデル圏が cofibrantly generated かつ combinatorial になるか？
• RQ5 lax $\mathcal{O}$-代数の同型写像とその列挙は、モデル構造におけるファイブレーション補完の構成とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathscr{M}$ が cofibrantly generated な対称的モノイド的モデル圏で、すべての対象が cofibrant であるとき、Pre-Co-Segal 圏の圏 $\mathscr{M}_{\mathbb{S}}(\mathbf{Set})$ は cofibrantly generated モデル構造を備える。
• このモデル構造におけるファイブレーション対象は正確に Co-Segal 圏であり、図式 $\mathcal{C}(A,C) \to \mathcal{C}(A,B,C)$ における弱同値を通じて双対化された Segal 条件を満たす。
• $\mathscr{M}$ が combinatorial であるならば、$\mathscr{M}_{\mathbb{S}}(\mathbf{Set})$ に対しても combinatorial であることが保証され、可アクセス性と局所的生成性が得られる。
• ファイブレーション補完関手は、$\kappa$-有向系の lax 図式からの超限列挙によって構成され、レベルごとに自明な cofibration $\eta^\infty: \mathcal{F} \to \mathcal{F}^\infty$ を持つファイブレーション対象 $\mathcal{F}^\infty$ を得る。
• lax 構造写像 $\otimes_x(\mathcal{F}^\infty c_1, \dots, \mathcal{F}^\infty c_n) \to \mathcal{F}^\infty c$ は列挙の普遍性から誘導され、$\eta^\infty c_i$ と可換であり、整合性が保証される。
• $\mathbf{F}\alpha$ に沿った $\sigma$ の押し出しは $\eta^\infty$ として実現され、$\mathcal{U}(\eta^\infty)$ はレベルごとに自明な cofibration であるため、モデル構造の Quillen 性質が確認される。