[論文レビュー] Multitensor lifting and strictly unital higher category theory

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、カテゴリカルな枠組みの中でグレイとクランズのテンソル積を統一するマルチテンソルのリフト定理を導入し、縮約された高次オペラッドを用いて厳密な単位を備えた弱い $n$-圏の構成を可能にする。主な貢献は、弱い $n$-圏に厳密な単位を備えたラックステンソル積であり、これにより豊かさの反復が弱い $(n+1)$-圏に厳密な単位を備えたものへと導く。この構成は代数的弱因子分解系と、合同な縮約された $T_{ ext{≤}n}$-オペラッドを用いて形式化される。

ABSTRACT

In this article we extend the theory of lax monoidal structures, also known as multitensors, and the monads on categories of enriched graphs that they give rise to. Our first principal result -- the lifting theorem for multitensors -- enables us to see the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product of Gray categories as part of this framework. We define weak n-categories with strict units by means of a notion of reduced higher operad, using the theory of algebraic weak factorisation systems. Our second principal result is to establish a lax tensor product on the category of weak n-categories with strict units, so that enriched categories with respect to this tensor product are exactly weak (n+1)-categories with strict units.

研究の動機と目的

• マルチテンソルおよびそれらに関連するモナドの理論を、グレイとクランズのテンソル積を特別な場合として含めるように拡張すること。
• 代数的弱因子分解系の枠組みにおいて、新たな種類の高次オペラッド—縮約された $ T_{ ext{≤}n}$-オペラッド—を用いて、厳密な単位を備えた弱い $n$-圏を定義すること。
• 弱い $n$-圏に厳密な単位を備えたラックステンソル積を確立し、これにより豊かさの反復が厳密な単位を備えた弱い $(n+1)$-圏を生成すること。
• 合同性条件を満たす $ T_{ ext{≤}n}$-オペラッドを用いて、高次圏理論における厳密な単位の概念を形式化すること。

提案手法

• マルチテンソルのリフト定理を発展させ、豊かにされたグラフの圏におけるラックスモノイド構造を構成し、デイの畳み込みを一般化し、グレイテンソル積の含意を可能にする。
• 合同性条件が結果の代数に厳密な単位を強制する、新たな高次オペラッドのクラス—縮約された $ T_{ ext{≤}n}$-オペラッド—を導入する。
• 代数的弱因子分解系を用いて、厳密な単位を備えた弱い $n$-圏のオペラッド的定義をモデル化し、整合性と単位の厳密性を保証する。
• 自然変換の単位性条件と木の包含との整合性を含む構成が行われ、マルチテンソル構造の単位がリフト過程で保存されることを保証する。
• リフト過程が選択された縮約を保存することを示し、それにより、選択された縮約を備えたオペラッドとそれらを備えないオペラッドの間の整合な随伴関手の構成が可能になる。
• 主な技術的道具は、リフトされたマルチテンソル構造における単位の整合性を符号化する自然変換 $ u_B: B o rh(B)$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレイとクランズのテンソル積を、マルチテンソルのリフトという一様な枠組み内でどのように統一できるか？
• RQ2 弱い $n$-圏に厳密な単位を備えた構造を捉えるために必要な圏論的構造は何か、そしてそれがどのようにオペラッド的定義で記述できるか？
• RQ3 マルチテンソルのリフト定理は、高次圏における厳密な単位の概念とどのように関係するか？
• RQ4 弱い $n$-圏に厳密な単位を備えたラックステンソル積を用いた反復的豊かさの構成は、弱い $(n+1)$-圏に厳密な単位を備えたものへと導くことができるか？
• RQ5 高次オペラッドにどのような条件を課えると、その代数が厳密な単位を備えるようになるか、そしてこのようなオペラッドはどのように構成できるか？

主な発見

• マルチテンソルのリフト定理は、2圏におけるグレイテンソル積とグレイ圏におけるクランズテンソル積を、一般枠組みの特別な例としてうまく統合している。
• 弱い $n$-圏に厳密な単位を備える構成は、普遍的で合同な縮約された $ T_{ ext{≤}n}$-オペラッドの代数として達成されており、弱い $n$-圏のオペラッド的定義を一般化している。
• 弱い $n$-圏に厳密な単位を備えたカテゴリの上で、ラックステンソル積 $ L_{ ext{≤}n}$ が特定され、このテンソル積に関する豊かさを持つ圏が、正確に弱い $(n+1)$-圏に厳密な単位を備えたものであることが示された。
• 自然変換 $ u_B: B o rh(B)$ は、選択された縮約および木の包含と整合的であり、リフト過程で単位性が保存されることを保証する。
• リフト過程は選択された縮約の構造を保存するため、それらを備えたオペラッドと備えないオペラッドの間の明確に定義された随伴関手の構成が可能になる。
• この枠組みは、高次圏における厳密な単位が、縮約された $ T_{ ext{≤}n}$-オペラッドの合同性を用いて形式化できることを示しており、単位性を備えた高次圏理論の整合的で代数的な基盤を提供する。