[論文レビュー] Lax formal theory of monads, monoidal approach to bicategorical structures and generalized operads

Dimitri Chikhladze|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は三圏論におけるモナドのラックス形式的理論を展開し、T-具備体と∗-具備体を導入することで、Kleisli構成を用いた一般化されたマルチカテゴリ（T-モノイド）の一般化を実現する。2-ファンクター的 Kleisli 構成とその拡張 ∗Kl を確立し、T-モノイド圏の比較および自由 T-代数と基礎となる T-モノイドを生成するファンクターの構成を可能にする。応用として対称的マルチカテゴリとプロファンクター的三圏論が含まれる。

ABSTRACT

Generalized operads, also called generalized multicategories and $T$-monoids, are defined as monads within a Kleisli bicategory. With or without emphasizing their monoidal nature, generalized operads have been considered by numerous authors in different contexts, with examples including symmetric multicategories, topological spaces, globular operads and Lawvere theories. In this paper we study functoriality of the Kleisli construction, and correspondingly that of generalized operads. Motivated by this problem we develop a lax version of the formal theory of monads, and study its connection to bicategorical structures.

研究の動機と目的

• 三圏論における内部モナドのラックス形式的理論を発展させ、2圏における形式的理論の一般化を行う。
• Kleisli 構成を 2-ファンクター Kl 及びその拡張 ∗Kl として形式化し、T-∗-具備体上で T-モノイド圏のファンクター的比較を可能にする。
• 擬プロファンクターと三圏論による双圏的構造のモノイド的アプローチを確立し、ラックスモナドと仮想二重カテゴリの関係を提示する。
• 自由 T-代数と基礎となる T-モノイドを生成するファンクターを、自由モノイド圏と基礎となるマルチカテゴリを生成するファンクターの類似物として構成する。
• 具備体が擬プロファンクターの三圏論におけるラックスモナドであることを示し、ラックスモナド理論と一般化マルチカテゴリの間の橋渡しを提供する。

提案手法

• T-具備体を導入し、モノイド T を備えた 2-圏的構造 A の形式的定式化を行い、T-モノイドの文脈を一般化する。
• ∗-具備体と T-∗-具備体を定義し、例における追加構造（例えば 2-セルの右随伴）をモデル化する。
• T-∗-具備体上で Kleisli 2-ファンクター Kl 及びその拡張 ∗Kl を構成し、T-モノイド圏の 2-ファンクター的比較を可能にする。
• 擬プロファンクターの三圏論 Mod を用いて、2-圏的構造における水平合成をモノイド的構造として表現する。
• ラックス分配法則および合成構成 Comp を適用し、ラックスモナドとその代数の関係を明らかにする。
• 仮想二重カテゴリを三圏論におけるモノイド的構成によって再解釈し、Mod(A) が三圏的モジュール構成として見なせることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的理論のモナドを三圏論内でのラックス設定に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 Kleisli 構成を 2-ファンクターとして一般化し、∗Kl に拡張可能とするために必要な構造（例：∗-具備体）は何か？
• RQ3 擬プロファンクターの三圏論におけるラックスモナドは、一般化マルチカテゴリおよび仮想二重カテゴリとどのように関係するか？
• RQ4 この枠組み内で自由 T-代数および基礎となる T-モノイドを生成するファンクターを構成可能か？また、それらはモノイド圏における古典的構成とどのように関係するか？
• RQ5 Mod(A) の構成を、既存の具備体から新たな具備体を生成する普遍的な三圏的記述として提供できるか？

主な発見

• Kleisli 構成 Kl は T-具備体上で 2-ファンクターであり、その拡張 ∗Kl は T-∗-具備体上で 2-ファンクターであり、T-モノイド圏の 2-ファンクター的比較を可能にする。
• ∗Kl 構成は、opアクションの右随伴を用いて定義されるファンクター Comp⊥∗ と一致し、ラックス形式的理論におけるその役割を裏付ける。
• 擬プロファンクターの三圏論 Mod はモノイド的メソッドにより構成され、2-圏が擬モノイドとして、双プロファンクターが双擬モジュールとして見なされる。
• 具備体が 2-Prof の三圏論におけるラックスモナドであることが示され、ラックスモナド理論と双圏的構造との間の橋渡しを確立する。
• 構成 Mod(A) は既存の具備体から新たな具備体を生成し、Mat(V) に適用すると Prof(V) を回復する。これは、(T0, Prof(Set)) 内の T-モノイドが強化された対称的マルチカテゴリを生成することを示唆する。
• 本稿は仮想二重カテゴリを三圏論におけるラックスモナドとして再解釈する枠組みを提供し、一般化マルチカテゴリと三圏的構造との間のより深い関係を示唆する。