[論文レビュー] Lax Pairs and Spectral Curves for Calogero-Moser and Spin Calogero-Moser Systems

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|Feb 27, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 29被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、任意の単純リー代数に付随する非-twistおよびtwistされた楕円型Calogero-Moser系に対して、スペクトルパラメータを有するLaxペアを構成し、N=2超対称ゲージ理論におけるSeiberg-Witten理論におけるその役割を確立する。SL(N)スピンCalogero-Moser系のスペクトル曲線に対して、テータ関数と微分作用素を用いた新しいパラメータ化を導入し、係数を運動量の積分と関連づけ、ゲージ理論の順序パラメータとの関係を示唆する。

ABSTRACT

We summarize recent results on the construction of Lax pairs with spectral parameter for the twisted and untwisted elliptic Calogero-Moser systems associated with arbitrary simple Lie algebras, their scaling limits to Toda systems, and their role in Seiberg-Witten theory. We extend part of this work by presenting a new parametrization for the spectral curves for elliptic spin Calogero-Moser systems associated with SL(N).

研究の動機と目的

• 任意の単純リー代数に付随する楕円型Calogero-Moser系（非-twistおよびtwistされたものも含む）に対して、スペクトルパラメータを有するLaxペアの存在を確立すること。
• twistされたおよび非-twistされた楕円型Calogero-Moser系と、随伴表現の場を有するN=2超対称ゲージ理論との間の対応関係を検証すること。
• 特にSL(N)に対して、スペクトル曲線のパラメータ化をスピンCalogero-Moser系へ拡張し、ゲージ理論の順序パラメータと関連づけること。
• これらの系のスケーリング極限をToda系へと解析し、既知の統合可能系およびゲージ理論の結果と整合することを確認すること。

提案手法

• 複素トーラス上のWeierstrass ℘-関数およびテータ関数を用いて、非-twistおよびtwistされた楕円型Calogero-Moser系のスペクトルパラメータを有するLaxペアを構成する。
• テータ関数およびその導関数の変換性を用いて、スペクトル曲線関数のモノドロミー条件を導出する。
• テータ関数の対数微分の導関数を含む生成関数を用いた、新しいスペクトル曲線のパラメータ化を導入する。
• スペクトル曲線関数 f(k,z) を、次数 N−p+1 の多項式 H_p(k) の導関数の和として表し、係数は H_p(k) と表す。
• モノドロミー制約を適用して、係数多項式 H_p(k) の再帰的関係を導出し、H_1(k) 及びその導関数による閉形式の表現を得る。
• 作用素表現 θ₁((z−m∂/∂k)/(2ω₁)|τ)/θ₁(z/(2ω₁)|τ) を用いて、f(k,z) を H_p(k) に作用する微分作用素として表現し、力学とスペクトル幾何の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単純リー代数に対して、楕円型Calogero-Moser系はスペクトルパラメータを有するLaxペアを有するか？
• RQ2 楕円型Calogero-Moser系とN=2超対称ゲージ理論との対応関係は、単純にラスド（simply-laced）でないリー代数に対しても成立するか？
• RQ3 SL(N)スピンCalogero-Moser系のスペクトル曲線に対して、ゲージ理論の順序パラメータとの関係を明らかにする新しいパラメータ化を構築できるか？
• RQ4 twistされたおよび非-twistされたCalogero-Moser系は、質量が大きい極限でToda系へどのようにスケーリングするか？
• RQ5 スペクトル曲線のパラメータ化は、統合可能性およびSeiberg-Witten解の理解において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の単純リー代数 G に対して、楕円型Calogero-Moser系はスペクトルパラメータを有するLaxペアを有する。E₈ に対しては、コycle仮定がおそらく必要となる可能性がある。
• 非単純にラスドでないリー代数に対しては、N=2ゲージ理論のSeiberg-Wittenスペクトル曲線と一致させるために、twistされた楕円型Calogero-Moser系が必要となる。
• SL(N)スピンCalogero-Moser系のスペクトル曲線は、l 個のモニック多項式 H_p(k)（次数 N−p+1）によってパラメータ化され、合計で lN−½l(l−1) 個のパラメータが系の次元と一致する。
• 関数 f(k,z) は f(k,z) = ∑_{p=1}^l ∂_z^{p−1} [θ₁((z−m∂/∂k)/(2ω₁)|τ)/θ₁(z/(2ω₁)|τ) H_p(k)] と表され、H_p(k) は次数 N−p+1 の多項式である。
• 多項式 H_p(k) の係数が運動量の積分に等しいことが示され、モノドロミー制約および生成関数技法を用いて k 依存性が導出された。
• スケーリング極限 m→∞ において、twistされた（非-twistされた）系は、(G^(1))^∨（G^(1)）のToda系に収束し、双対コックスター数 δ=1/h_G^∨（または 1/h_G）と一致し、既知の統合可能極限と整合することが確認された。