[論文レビュー] Learning t-doped stabilizer states

Lorenzo Leone, Salvatore F. E. Oliviero+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2023

Ferroelectric and Negative Capacitance DevicesEngineering参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$t$-doped stabilizer states（stabilizer statesに$t$個の非クリフォードな$T$ゲートを適用して得られる量子状態）のための、stabilizerエントロピーに基づく代数的枠組みに立脚する新しい学習アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、ベル測定を用いて平方パウリ期待値から導かれる分布からのサンプリングを実行し、$O(\text{poly}(n)\text{exp}(t))$のリソースで正確なトモグラフィー再構成を達成し、失敗確率は指数的に小さくなる。これはモンタナロのstabilizer学習プロトコルを非クリフォード状態へ一般化したものである。

ABSTRACT

In this paper, we present a learning algorithm aimed at learning states obtained from computational basis states by Clifford circuits doped with a finite number $t$ of $T$-gates. The algorithm learns an exact tomographic description of $t$-doped stabilizer states in terms of Pauli observables. This is possible because such states are countable and form a discrete set. To tackle the problem, we introduce a novel algebraic framework for $t$-doped stabilizer states, which extends beyond $T$-gates and includes doping with any kind of local non-Clifford gate. The algorithm requires resources of complexity $ ext{poly}(n,2^t)$ and exhibits an exponentially small probability of failure.

研究の動機と目的

• 非クリフォードな$T$ゲートを$t$個持つ、クリフォードで装飾された状態としての$t$-doped stabilizer状態のための、効率的な学習アルゴリズムの開発。
• 元々$t=0$に対して効率的であったモンタナロのstabilizer状態学習プロトコルを、より広いクラスの$t$-doped状態へ拡張すること。
• 非stabilizer性を特徴づけ、学習を導くためにstabilizerエントロピーを用いた、$t$-doped stabilizer状態のための新しい代数的枠組みの確立。
• 状態の生成子と位相の古典的再構成を、$n$に関して多項式リソースで達成すること（$t = O(\log n)$のとき）。
• 状態$\ket{\psi_t}$とその共役$\ket{\psi_t^*}$へのクエリアクセスのみを用いて、$\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$という分布からのサンプリングが、正確な学習に十分であることを示すこと。

提案手法

• 非stabilizer性を定量化するstabilizerエントロピー$M_\alpha(\psi_t)$を用いた、$t$-doped stabilizer状態のための新しい代数的構造を導入。これにより、パウリ演算子を「良い」生成子と「悪い」生成子に分類可能となる。
• サンプルが$\ket{\psi_t} \otimes \ket{\psi_t^*}$におけるベル測定により得られる確率分布$\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$を定義。これにより、1回のクエリで1サンプルを効率的に取得可能となる。
• 2段階の学習手順を採用：まず、$k < 4^t$個の「悪い」生成子（期待値が小さいがゼロでないパウリ演算子）を特定し、次に$O(2^{(2b+1)t}\log(k+1))$個のサンプルと$O(k2^{2bt})$回の測定ショットを用いてその期待値を高精度で推定する。
• 最小期待値が$\delta_t \geq (1 - 2^{-1/2})^t$を満たすことに着目し、$b \approx 1.77$のとき$O(2^{2bt})$ショットで正確な推定が可能であることを保証する。
• 学習済みの生成子と位相を組み合わせて、全状態を再構成。総計算コストは$O(4^t n^2)$、失敗確率は$O(n 2^{-n})$。
• $t = O(\log n)$のとき、全リソースが$n$に関して多項式スケーリングすることを示し、平均ケースにおいて効率的学習が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $t$-doped stabilizer状態の学習は、系統的な代数的枠組みを用いて、stabilizer状態の範囲を超えて拡張可能か？
• RQ2 状態$\ket{\psi_t}$とその共役へのクエリアクセスのみを用いて、分布$\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$からのサンプリングは可能か？
• RQ3 「良い」生成子と「悪い」生成子の両方の知識を用いて、$\ket{0}^{\otimes n}$から$\ket{\psi_t}$を準備するClifford+$T$回路を合成可能か？
• RQ4 サンプル数、測定ショット数、古典的計算の観点から、$t$-doped stabilizer状態の学習のリソース複雑度はどのようになるか？
• RQ5 失敗確率は系サイズ$n$とともにどのようにスケーリングされ、指数的に小さくできるか？

主な発見

• アルゴリズムは、分布$\Xi_{\psi_t}$からの$O(2^t n + t 2^{5t})$個のサンプル、$O(2^{6t} + 2^{3t} n(n+t))$回の測定ショット、$O(4^t n^2)$ステップの古典的計算ステップを用いて、$t$-doped stabilizer状態を学習する。
• アルゴリズムの失敗確率は$O(n 2^{-n})$以下であり、これは$n$に関して指数的に小さい。
• $t = O(\log n)$のとき、全リソースは$n$に関して多項式スケーリングし、平均ケースで効率的な学習が可能となる。
• $t = 0$のとき、アルゴリズムはモンタナロのstabilizer状態学習プロトコルに正確に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• 分布$\Xi_{\psi_t}$からのサンプリングには、$\ket{\psi_t} \otimes \ket{\psi_t^*}$におけるベルサンプリングを用い、1回のクエリで1サンプルを取得可能。
• stabilizerエントロピー枠組みにより、パウリ演算子を「良い」生成子と「悪い」生成子に正確に分類可能であり、これは学習誤差とリソーススケーリングの制御に不可欠である。