[論文レビュー] Lectures on 2d Gauge Theories: Topological Aspects and Path Integral Techniques

Matthias Blau, G.E. Thompson|ArXiv.org|Oct 21, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、非アーベル理論を二次的アーベル理論に還元するアーベル化を用いて、2次元ゲージ理論—ヤンミルズ理論およびG/Gモデル—に対する経路積分的手法を提示する。これにより、任意の genus の曲面上での分配関数およびトポロジカルな相関関数の直接的計算が可能になる。主な結果として、G/Gモデルを用いたヴェルリンドの公式の導出と、2次元ヤンミルズ理論におけるウィッテンの非アーベル局所化定理の経路積分的厳密な導出が得られ、Weyl行列式寄与による有効作用における $k \to k+h$ シフトが明らかになる。

ABSTRACT

These are lecture notes of lectures presented at the 1993 Trieste Summer School, dealing with two classes of two-dimensional field theories, (topological) Yang-Mills theory and the G/G gauged WZW model. The aim of these lectures is to exhibit and extract the topological information contained in these theories, and to present a technique (a Weyl integral formula for path integrals) which allows one to calculate directly their partition function and topological correlation functions on arbitrary closed surfaces. Topics dealt with are (among others): solution of Yang-Mills theory on arbitrary surfaces; calculation of intersection numbers of moduli spaces of flat connections; coupling of Yang-Mills theory to coadjoint orbits and intersection numbers of moduli spaces of parabolic bundles; derivation of the Verlinde formula from the G/G model; derivation of the shift k to k+h in the G/G model via the index of the twisted Dolbeault complex.

研究の動機と目的

• 2次元ヤンミルズ理論およびG/Gモデルからトポロジカルな情報を経路積分的手法を用いて抽出すること。
• 境界や格子に依存しない、閉じた任意の genus のリーマン面における分配関数および相関関数を直接計算するための技術を開発すること。
• コンformal field theory に依存しない、G/Gモデルを用いたヴェルリンドの公式の経路積分的導出を提供すること。
• アーベル化と局所化を介して、2次元ヤンミルズ理論とトポロジカルBF理論、および平坦接続のモジュライ空間との関係を明確にすること。
• インデックス理論と行列式正則化を用いて、G/Gモデルにおける $k \to k+h$ シフトの起源を特定すること。

提案手法

• アーベル化：非アーベル自由度を分離するゲージ固定により、理論を二次的アーベル作用に還元する。
• Lie代数および群のWeyl積分公式を用いて、カルタン部分代数上での局所化により経路積分を計算する。
• Seeley展開とインデックス理論を用いた関数的行列式の正則化により、最初および第二のSeeley係数を同定する。
• ドルベオール複体上のラプラシアンの正則化行列式を計算し、スカラーおよび1形式の寄与を分離する。
• Weyl行列式を同定し、その寄与が $\log(M_\alpha / M_{-\alpha})$ 項を通じてG/Gモデルにおける $k \to k+h$ シフトを生成することを示す。
• Weyl特徴関数公式とトレース恒等式を用いて、分配関数と平坦接続のモジュライ空間のシンプレクティック体積との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界なし、格子を用いない手法で、任意の genus の曲面上での2次元ヤンミルズ理論の分配関数をどのように直接計算できるか？
• RQ2 G/Gモデルにおける $k \to k+h$ シフトの起源は何か？ また、経路積分正則化によってどのように現れるか？
• RQ3 アーベル化がどのようにヴェルリンドの公式の直接的経路積分的導出を可能にするか？
• RQ4 2次元ヤンミルズ理論がどのような意味でトポロジカルであるか？ また、BF理論および平坦接続のモジュライ空間とはどのように関係するか？
• RQ5 Weyl積分公式とインデックス理論は、ゲージ理論の経路積分における行列式をどのように組み合わせて計算するか？

主な発見

• アーベル化法により、2次元ヤンミルズ理論の分配関数が直接的に経路積分的に導出され、非アーベル局所化に基づく新しい視点で既知の結果を再現する。
• G/Gモデルの分配関数がヴェルリンドの公式を介して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_\mathcal{F}(\Sigma_g, SU(2))$ のシンプレクティック体積を計算することが示された。
• G/Gモデルにおける $k \to k+h$ シフトは、行列式における $\log(M_\alpha / M_{-\alpha})$ 項に起因し、$\frac{ih}{2\pi}\int \phi_l F^l$ に評価され、有効作用におけるレベルシフトを引き起こす。
• 正則化された行列式におけるWeyl行列式寄与は $\exp\left[\frac{1}{8\pi}\int R \sum_{\alpha>0} \log(M_\alpha M_{-\alpha})\right]$ と特定され、ドライソン結合に対応する。
• ヤンミルズ理論では $M_\alpha / M_{-\alpha} = -1$ 項が寄与をもたらさず、期待どおり $k$-シフトがないことが整合的である。
• 本手法により、G/Gモデルの経路積分と平坦接続のモジュライ空間のトポロジーとの直接的な関係が確立され、分配関数が曲面のトポロジカル不変量を符号化することが明らかになった。