[論文レビュー] Lectures on Integrable probability: Stochastic vertex models and symmetric functions

Alexei Borodin, Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、四分円領域における確率的高スピン六頂点模型の多点qモーメントおよびq相関関数の積分公式を、Yang–Baxter方程式から導かれる対称有理関数を用いて提示する。主な貢献は、ASEP、q-TASEP、および確率的qボソン模型といった既知のモデルへと退化する統一的枠組みを提供することであり、これらの関数に対するスケーリング・カウチ恒等式を用いて明示的な contour 積分表現が導出されている。

ABSTRACT

We consider a homogeneous stochastic higher spin six vertex model in a quadrant. For this model we derive concise integral representations for multi-point q-moments of the height function and for the q-correlation functions. At least in the case of the step initial condition, our formulas degenerate in appropriate limits to many known formulas of such type for integrable probabilistic systems in the (1+1)d KPZ universality class, including the stochastic six vertex model, ASEP, various q-TASEPs, and associated zero range processes. Our arguments are largely based on properties of a family of symmetric rational functions (introduced in arXiv:1410.0976) that can be defined as partition functions of the higher spin six vertex model for suitable domains; they generalize classical Hall-Littlewood and Schur polynomials. A key role is played by Cauchy-like summation identities for these functions, which are obtained as a direct corollary of the Yang-Baxter equation for the higher spin six vertex model. These are lecture notes for a course given by A.B. at the Ecole de Physique des Houches in July of 2015. All the results and proofs presented here generalize to the setting of the fully inhomogeneous higher spin six vertex model, see arXiv:1601.05770 for a detailed exposition of the inhomogeneous case.

研究の動機と目的

• 確率的高スピン六頂点模型のqモーメントおよびq相関関数の明示的積分表現を導出すること。
• 1+1次元KPZ普遍性クラスにおける可積分確率的系を結ぶ統一的枠組みを確立すること。
• 頂点模型の分配関数として現れる対称有理関数を用いて、Hall–LittlewoodおよびSchur多項式を一般化すること。
• 既知のモデル（ASEP、q-TASEP、確率的qボソン）が高スピン頂点模型のパrameterの適切な極限として現れることを示すこと。
• Yang–Baxter方程式から導かれるカウチに類似した恒等式を用いた、モーメント公式の体系的導出を提供すること。

提案手法

• 模型は、確率的高スピン頂点重みがYang–Baxter方程式を満たす四分円領域に定義される。
• 特定の境界条件の下で、モデルの分配関数として対称有理関数が導入される。
• これらの関数に対するスケーリング・カウチ恒等式は、Yang–Baxter方程式の直接的な帰結として導出される。
• これらの恒等式を用いて、qモーメントおよびq相関関数の contour 積分表現が構成される。
• 解析接続および contour 変形を含む手法が用いられ、負の向きの contour を正の向きに変換するために、無限遠点を通り抜けるように contour をドラッグする。
• パrameterの適切な極限（例：J=1 および s²=−ϵ）を取ることで、既知のモデルへの退化が達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的高スピン六頂点模型における高さ関数の多点qモーメントは、閉形式でどのように表現できるか？
• RQ2 対称有理関数は、1+1次元KPZクラスにおける可積分確率的系を統一する役割を果たすか？
• RQ3 頂点模型の文脈において、Yang–Baxter方程式からどのようにカウチに類似した恒等式が導かれるか？
• RQ4 導出された公式は、ASEP、q-TASEP、および確率的qボソンの既知の結果へどのような極限で還元されるか？
• RQ5 モーメント公式を導出するにあたり、contour 変形およびネストされた統合 contour の重要性は何か？

主な発見

• 高さ関数のqモーメントに対する明示的積分公式が導出された：$\mathbb{E}^\textnormal{q-Boson}\prod_{i=1}^{\ell}q^{\mathfrak{h}_{\nu}(x_{i})} = (-1)^{\ell}q^{\frac{\ell(\ell-1)}{2}}\oint\cdots\oint\prod_{\alpha<\beta}\frac{w_{\alpha}-w_{\beta}}{w_{\alpha}-qw_{\beta}}\prod_{i=1}^{\ell}\frac{e^{(1-q)tw_{i}}}{w_{i}(1+w_{i})^{x_{i}-1}}$。これは $x_1 \geq \cdots \geq x_\ell \geq 1$ および $t \geq 0$ の範囲で有効である。
• qボソン過程における公式は、[BC14]および[BCS14]の既知の結果と一致し、先行研究と整合性が確認された。
• 一般の高スピン頂点模型のモーメント公式は、$w_i$ に依存する有理関数と、$s$ のまわりに $0$ および $s^{-1}$ を除いて配置された $q$-ネストされた contour ${\boldsymbol{\gamma}}^{\scriptscriptstyle+}_{j}[s]$ を含む contour 積分として与えられる。
• 導出は、Yang–Baxter方程式の無限大体積極限を用いて、対称有理関数に対するスケーリング・カウチ恒等式を導出することに依拠している。
• 対称有理関数は、Hall–LittlewoodおよびSchur多項式を一般化し、特定の境界条件の下での頂点模型の分配関数として定義される。
• この枠組みは、さまざまな1+1次元KPZモデルを統一する。パrameterの適切な極限において、公式はASEP、q-TASEP、およびゼロレンジ過程の公式に退化する。