[論文レビュー] Lectures on random polymers

Francesco Caravenna, den WThF Frank Hollander+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Theoretical and Computational Physics参考文献 79被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無作為なポリマーの包括的な数学的取り扱いを提供し、不規則な系および非不規則な系における相転移とスケーリング極限に焦点を当てる。大偏差理論および確率過程の道具を用いて、自由エネルギー、局在化、収縮、およびウェッティング転移に関する厳密な結果を確立し、特にクエンチド自由エネルギーの特徴付けと、ランダムポテンシャルを有する指向ポリマーにおける相転移の順序に関する主な貢献を含む。

ABSTRACT

These lecture notes are a guided tour through the fascinating world of polymer chains interacting with themselves and/or with their environment. The focus is on the mathematical description of a number of physical and chemical phenomena, with particular emphasis on phase transitions and space-time scaling. The topics covered, though only a selection, are typical for the area. Sections 1-3 describe models of polymers without disorder, Sections 4-6 models of polymers with disorder. Appendices A-E contain tutorials in which a number of key techniques are explained in more detail.

研究の動機と目的

• 不規則性の存在下でのランダムポリマーにおける相転移を理解するための厳密な数学的枠組みを提供すること。
• 統計力学および確率論を用いて、ポリマーの自己回避性、溶媒の性質、外部場の相互作用を分析すること。
• 特に2次元におけるランダムポテンシャルを有する指向ポリマーにおけるクエンチド自由エネルギーおよび相転移を特徴化すること。
• ポリマー・モデルと、シュラム＝ロエヴェル・エボリューション（SLE）を含む普遍的スケーリング極限との関係を確立すること。

提案手法

• ランダムパスの経験的測度を分析し、自由エネルギーの変分的特徴付けを導出するために、大偏差原理（LDP）およびサナフの定理を用いる。
• キングマンの部分加法的エルゴード定理および測度の集中を適用して、クエンチドおよびアンネールド設定における自由エネルギーの収束を証明する。
• 生成関数および再帰的パス分解を用いて、指向ポリマー・モデルにおける分配関数および相挙動を分析する。
• 希少で大きなフラクチュエーションを有する不規則性の存在下で、クエンチド自由エネルギーを推定するために、条件付き期待値およびマルティンゲールの議論を用いる。
• Cramérの大偏差定理を適用して、同分布独立な確率変数の和のレート関数を計算し、自由エネルギーの上限を求める上で中心的役割を果たす。
• ガウス分布およびバイナリ不規則性の近似を適応することで、連続的不規則性モデルから離散的不規則性モデルへの結果の拡張を図り、相転移結果のロバスト性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 貧弱な溶媒中における指向ポリマーの収縮転移の性質は何か？また、温度および溶媒の性質にどのように依存するか？
• RQ2 ランダムポテンシャル中における指向ポリマーのクエンチド自由エネルギーはどのように振る舞い、局在化の開始を決定づける要因は何か？
• RQ3 ランダム界面におけるピンニングモデルの相転移の順序は何か？また、不規則性の強さにどのように依存するか？
• RQ4 2次元における自己相互作用を有するランダムポリマーのスケーリング極限は、シュラム＝ロエヴェル・エボリューション（SLE）によって記述可能か？
• RQ5 ランダム界面の存在は、ポリマー鎖のウェッティングおよびデピンニング転移にどのように影響するか？

主な発見

• クエンチド自由エネルギーは、$\frac{3}{4}\log M(\frac{4}{3}\beta) - \beta h > 0$ のとき、厳密に正であり、非自明な局在化相を確立する。ここで $M(\lambda) = \mathbb{E}[e^{\lambda \omega_1}]$ である。
• ピンニングモデルにおける相転移の順序は連続的であり、$\delta > 0$ が十分に小さいとき、$g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c - \delta) - g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c) \leq \frac{1}{4}\delta^2$ が成り立つ。これは2次相転移を示唆する。
• ランダムポテンシャル中における指向ポリマーの自由エネルギーは、モーメント母関数のルジャンドル変換を含む変分公式によって特徴付けられる。
• i.i.d. ガウス不規則性の下で、クエンチド自由エネルギーは $g^{\mathrm{que}}(\beta, h_c) \geq p_{l,\delta} \left[ -\frac{3}{2} \log(p_{l,\delta}^{-1} - l) + O(\log l) + \mathbb{E}[\log Z_l^{\beta, h_c, \omega} \mid \Omega_1 \leq -\delta l] \right]$ を満たし、精密な漸近的上限が得られる。
• Cramérの定理におけるレート関数 $\Sigma(\delta)$ は $\Sigma(\delta) = \sup_{\lambda > 0} [\lambda \delta - \log M(-\lambda)]$ を満たし、相転移の臨界曲線を導出するのに用いられる。
• ガウス分布からバイナリ不規則性への拡張は、$l \to \infty$ の極限において、条件付き期待値におけるガウス近似が有効であることを示すことによって実現される。