[論文レビュー] Lefschetz Fibrations on Compact Stein Manifolds

Selman Akbulut, M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元が4より大きい任意のコンpakトなステイン多様体が、正則なステインファイバーを持つ2次元ディスク上のレフシェツファイブレーションを備えることを証明している。そのモノドロミーは、ラグランジュ的n次元球面に沿った右回りのデーンねじ込みの合成として得られるシンプレクティック同相写像である。この構成は、ステイン表面の場合（n=1）を高次元に拡張し、接触境界をオープンブック分解によって支える、整合的な凸レフシェツファイブレーション構造を確立する。

ABSTRACT

Here we prove that up to diffeomorphism every compact Stein manifold W of dimension 2n+2>4 admits a Lefschetz fibration over the two-disk with Stein regular fibers, such that the monodromy of the fibration is a symplectomorphism induced by compositions of right-handed Dehn twists along embedded Lagrangian n-spheres on the generic fiber. This generalizes the Stein surface case of n=1, previously proven by Loi-Piergallini and Akbulut-Ozbagci. More precisely, we show that up to Liouville isomorphism any Weinstein domain W admits a compatible compact convex Lefschetz fibration with Weinstein regular fibers and with the same monodromy description stated above. Moreover, the induced convex open book supports the induced contact structure on the boundary of W.

研究の動機と目的

• 次元2n+2 > 4の高次元コンパクトステイン多様体へのレフシェツファイブレーション構成を、ステイン表面（n=1）のケースから拡張すること。
• ステインファイバーを持つ任意のウェインドメインに、整合的なコンパクトな凸レフシェツファイブレーション構造を確立すること。
• ファイブレーションのモノドロミーが、埋め込まれたラグランジュ的n次元球面に沿った右回りデーンねじ込みの合成として実現されることを示すこと。
• ファイブレーションが境界に誘導するオープンブックが、ステイン多様体の境界の接触構造を支えることを示すこと。

提案手法

• リークヴィル同型を用いて、問題をウェインドメイン上での整合的凸レフシェツファイブレーションの構成に還元する。
• 正則ファイバーがステイン多様体である2次元ディスク上のファイブレーションを構成する。
• 一般ファイバー内の埋め込みラグランジュ的n次元球面に沿った右回りデーンねじ込みの合成から生じるシンプレクティック同相写像としてモノドロミーを保証する。
• 凸レフシェツファイブレーションとオープンブックの対応関係を適用し、境界の接触構造が誘導されたオープンブックによって支えられることを示す。
• ウェイン構造の柔軟性と、ステイン多様体内にラグランジュ的球面が存在することを活用して、必要なモノドロミーを実現する。
• 右回りデーンねじ込みがステイン構造を保存し、ファイブレーションと整合するシンプレクティック同相写像を生成することを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が4より大きい任意のコンパクトステイン多様体は、正則なステインファイバーとシンプレクティックモノドロミーを持つ2次元ディスク上のレフシェツファイブレーションを備えることができるか？
• RQ2 このようなファイブレーションのモノドロミーは、埋め込みラグランジュ的n次元球面に沿った右回りデーンねじ込みの合成として実現可能か？
• RQ3 ウェインドメイン上のファイブレーション構造は、リークヴィル構造と整合するコンパクトな凸レフシェツファイブレーションを誘導するか？
• RQ4 コンパクトステイン多様体の境界に誘導されるオープンブックは、境界の接触構造を支えることができるか？
• RQ5 ロイ・ピエラリーニおよびアクブリュト＝オズバグチの結果の高次元一般化は、次元2n+2 > 4においてどのように拡張されるか？

主な発見

• 次元2n+2 > 4の任意のコンパクトステイン多様体は、微分同相写像の意味で、正則なステインファイバーを持つ2次元ディスク上のレフシェツファイブレーションを備える。
• ファイブレーションのモノドロミーは、一般ファイバー内の埋め込みラグランジュ的n次元球面に沿った右回りデーンねじ込みの合成として得られるシンプレクティック同相写像である。
• リークヴィル同型の意味で、任意のウェインドメインは、ウェイン正則ファイバーと同一のモノドロミー記述を持つ、整合的なコンパクトな凸レフシェツファイブレーションを備える。
• ステイン多様体の境界に誘導されるオープンブックは、境界から生じる接触構造を支える。
• この構成は、ステイン表面の場合（n=1）を高次元に拡張し、ロイ・ピエラリーニおよびアクブリュト＝オズバグチの結果を一般化する。