[論文レビュー] Left-Right Entanglement Entropy, D-Branes, and Level-rank duality

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、円上およびDブレーン上の1+1次元WZW模型における左-右もつれエントロピー（LREE）を調査し、レベルランク双対性が中央電荷が大きくおよび小さい理論間でLREEを写像することを示している。${\widehat{\rm su}(N)_K}$と${\widehat{\rm su}(K)_N}$の間、および${\widehat{\rm sp}(N)_K}$に対しても同様に、LREEの双対性を確立し、この双対性下でももつれ構造が保存されることを示し、モジュラーS行列によるカーディ状態エントロピーの明示的写像を提示している。

ABSTRACT

We consider the left-right entanglement (LREE) entropy in 1+1 dimensions for WZW models on a circle, and for WZW models on untwisted and twisted D-branes. The consequences of level-rank duality for these applications is presented which provides a map of LREE from large to small central charge.

研究の動機と目的

• 1+1次元WZW模型における左-右もつれエントロピー（LREE）の挙動を、円上およびDブレーン上で調査すること。
• 特に${\widehat{\rm su}(N)_K}$および${\widehat{\rm sp}(N)_K}$に対して、レベルランク双対性がLREEに与える影響を調査すること。
• レベルランク双対性を用いて、中央電荷が大きくおよび小さい理論間のLREEを写像すること。
• LREEを3次元TQFTにおけるWilson線の観測量としての位相的解釈を提示すること。
• twisted Dブレーン上のオープンストリング分配関数の係数がレベルランク双対性のもとで不変であることを示すこと。

提案手法

• WZW模型における境界状態としてカーディ状態を用い、モジュラーS行列を介してイシハラスターディの重ね合わせとして表現する。
• 右移動自由度をトレースすることで得られる縮約密度行列を用いた左-右もつれエントロピーの形式的取り扱いを適用する。
• ${\widehat{\rm su}(N)_K}$および${\widehat{\rm sp}(N)_K}$のモジュラーS行列変換則を用いて、双対理論間でのエントロピーを関連付ける。
• 公式 $S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$ を用いて、円上カーディ状態のLREEを導出する。
• レベルランク双対性によるS行列の変換を用いる：${\widehat{\rm su}}$に対しては $S_{\lambda\mu} = \sqrt{K/N} e^{-2\pi i r(\lambda)r(\mu)/NK} \tilde{S}^*_{\tilde{\lambda}\tilde{\mu}}$、${\widehat{\rm sp}}$に対しては $S'_{\alpha'\beta'} = \tilde{S}'_{\tilde{\alpha}'\tilde{\beta}'}$。
• S行列の恒等式およびねじれたDブレーンの表現論を用いて、$n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$ を示すことにより、オープンストリングスペクトル係数 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ のレベルランク双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベルランク双対性は、中央電荷が大きくおよび小さい理論間で左-右もつれエントロピー（LREE）をどのように写像するか？
• RQ2 円上カーディ状態のLREEは、3次元TQFTにおける位相的もつれエントロピーとして解釈可能か？
• RQ3 レベルランク双対性の下で、WZW模型における未ねじれおよびねじれたDブレーンのLREEの挙動はいかなるものか？
• RQ4 ねじれたDブレーン上のオープンストリング分配関数の係数 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ はレベルランク双対性のもとでどのように関連しているか？
• RQ5 ${\widehat{\rm su}(N)_K}$と${\widehat{\rm su}(K)_N}$の間、および同様に${\widehat{\rm sp}(N)_K}$に対しても、双対性がもつれエントロピーの構造を保存するか？

主な発見

• 1+1次元の円上カーディ状態のLREEは、$S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$ で与えられ、$c$ は中央電荷である。
• レベルランク双対性の下で、${\widehat{\rm su}(N)_K}$のLREEは${\widehat{\rm su}(K)_N}$のLREEに写像され、$K$ が大きい極限では中央電荷 $c \sim N^2$ であり、双対理論では $c \sim KN$ である。
• ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$では、双対理論が ${\widehat{\rm sp}(K)_N}$ に写像され、$K$ が大きい極限では中央電荷 $c \sim N(N+1)$ であり、双対理論では $c \sim KN$ である。
• $\omega_c$-ねじれたDブレーン上のオープンストリングスペクトルの係数 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ はレベルランク双対性のもとで不変である：$n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$。
• 双対性は、未ねじれおよびねじれたDブレーン上のWZW模型のもつれ構造を、中央電荷が大きくおよび小さい領域の間で写像し、エントロピー構造を保存する。
• 形式的取り扱いは、$S^3$ 上のチェーン・シンコース理論におけるWilson線観測量としてのLREEの潜在的な位相的解釈を示唆しており、2+1次元TQFTと1+1次元CFTのもつれを結びつける。