[論文レビュー] Leibniz Homology of the Affine Indefinite Orthogonal Lie Algebra

Guy Roger Biyogmam|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アフィン不定正交 Lie 代数 $\chi_n = \rho^{p,q} \rtimes \mathfrak{so}(p,q)$ の Leibniz 有向ホモロジーを計算し、Lodder の Poincaré 群に関する結果を一般化する。不変テンソルと Lodder の構造定理を用いて、graded vector space 同型 $HL_*(\mathfrak{h}_n) \cong (\mathbb{R} \oplus \langle \tilde{\alpha}_{p,q}\rangle) \otimes T^*(\tilde{\gamma}_{p,q})$ を確立する。ここで $\tilde{\alpha}_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}_{p,q}$ は、基底要素と構造定数のバランスの取れた組み合わせから構成される $\mathfrak{h}_n$-不変テンソルである。

ABSTRACT

In this paper, we compute the Leibniz (co)homology of the affine indefinite orthogonal Lie algebra. This calculation generalizes a result \cite[corollary 4.5]{JL} obtained by Jerry Lodder. We construct several indefinite orthogonal invariants in terms of balanced tensors and provide the Leibniz homology in terms of these invariants.

研究の動機と目的

• アフィン不定正交 Lie 代数 $\mathfrak{h}_n = \mathbb{R}^{p,q} \rtimes \mathfrak{so}(p,q)$ の Leibniz 有向ホモロジーを計算すること。
• Poincaré 群に関する Lodder の結果を不定正交群 $\mathfrak{so}(p,q)$ の場合に一般化すること。
• $\mathfrak{h}_n$-不変テンソル $\tilde{\alpha}_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}_{p,q}$ を明示的に構成し、ホモロジーを生成すること。
• これらの不変量を用いたホモロジーの完全な記述を提供すること。

提案手法

• Leibniz 有向ホモロジーのアーベル拡大に関する Lodder の構造定理を適用する。
• $\mathfrak{h}_n$ を $\mathfrak{I}_n \oplus \mathfrak{so}(p,q)$ としてアーベル拡大と特定する。ここで $\mathfrak{I}_n \cong \mathbb{R}^{p,q}$ である。
• 次数 $n$ における不変テンソル $\tilde{\alpha}_{p,q} = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \frac{\partial}{\partial x^{\sigma(1)}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\sigma(n)}}$ を構成する。
• $\tilde{\gamma}_{p,q} = \bar{\gamma}_{p,q} - \bar{\gamma}'_{p,q}$ を、構造定数 $X_{ij}, Y_{ij}$ と反対称化されたテンソル積を用いた次数 $(n-1)$ の不変量として定義する。
• $\mathfrak{so}(p,q)$ が $\mathbb{R}^{p,q}$ に作用することを用いて、$\tilde{\alpha}_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}_{p,q}$ が $\mathfrak{h}_n$-不変であることを確認する。
• 双対性を用いて同型 $HL^*(\mathfrak{h}_n) \cong (\mathbb{R} \oplus \langle \tilde{\alpha}^d_{p,q}\rangle) \otimes T^*(\tilde{\gamma}^d_{p,q})$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン不定正交 Lie 代数 $\mathfrak{h}_n = \mathbb{R}^{p,q} \rtimes \mathfrak{so}(p,q)$ の Leibniz 有向ホモロジーは何か？
• RQ2 $\tilde{\alpha}_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}_{p,q}$ は、$\mathfrak{so}(p,q)$ の構造と $\mathbb{R}^{p,q}$ への作用からどのように生じるか？
• RQ3 Leibniz 有向ホモロジーの Lodder の構造定理は、不定正交の場合に拡張可能か？
• RQ4 バランスの取れたテンソル構成がホモロジーの生成に果たす役割は何か？
• RQ5 双対コホモロジー類 $\tilde{\alpha}^d_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}^d_{p,q}$ はホモロジー生成子とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathfrak{h}_n$ の Leibniz 有向ホモロジーは、graded vector space として $(\mathbb{R} \oplus \langle \tilde{\alpha}_{p,q}\rangle) \otimes T^*(\tilde{\gamma}_{p,q})$ に同型である。
• $\tilde{\alpha}_{p,q}$ は、基底ベクトル場 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ のすべての置換に関する符号付き和であり、次数 $n$ の不変量をなす。
• $\tilde{\gamma}_{p,q}$ は、$X_{ij}$, $Y_{ij}$ および $\mathfrak{so}(p,q)$-生成子とベクトル場の反対称化されたテンソル積を含む三つの項からなる次数 $(n-1)$ の不変量である。
• コホモロジーは $(\mathbb{R} \oplus \langle \tilde{\alpha}^d_{p,q}\rangle) \otimes T^*(\tilde{\gamma}^d_{p,q})$ に同型であり、双対基底を用いて双対類 $\tilde{\alpha}^d_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}^d_{p,q}$ が定義される。
• $\tilde{\alpha}_{p,q}$ と $\tilde{\gamma}_{p,q}$ が $\mathfrak{h}_n$-不変であることが、随伴作用の下で示された。
• この結果は、Lodder が Poincaré 群に対して行った計算を、より広いクラスの不定正交群 $SO(p,q)$ に一般化する。