[論文レビュー] Les Variétés de Hecke-Hilbert aux points classiques de poids $1$

Adel Betina|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガロア変形理論およびp進コホロロジーを用いて、古典的重み1ヒルベルトモジュラー形式におけるヒルベルト固有多様体の局所的幾何を研究する。Leopoldtの条件と正則性条件の下で、固有多様体がそのような点で滑らかであることを証明し、ファイバーの接空間次元を計算し、代数的数のp進対数関数を用いて表現される非古典的過収束固有形式を構成する。

ABSTRACT

We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field $F$ is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficients in terms of $p$-adic logarithms of algebraic numbers. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations.

研究の動機と目的

• 古典的重み1ヒルベルトモジュラー形式におけるヒルベルト固有多様体の局所的構造を記述すること。
• このような点における固有多様体の滑らかさおよび接空間次元を特定すること。
• 非古典的過収束固有形式を構成し、そのフーリエ係数がp進対数関数とどのように関係するかを明らかにすること。
• 重み写像が重み1の点でエタールである条件を確立すること。
• 類体論と変形理論を用いて、楕円の場合の結果を完全実体に一般化すること。

提案手法

• Mazurのガロア変形理論および擬変形を用いて、固有多様体の局所的幾何を研究する。
• 類体論からのコホモロジー的道具を適用して、固有多様体およびそのファイバーの構造を分析する。
• p安定化された重み1形式を、固有多様体の準正則局所の点として導入する。
• pの上にある素数における分岐および分解のデータを用いて、重み写像のファイバーの接空間を計算する。
• 固有多様体の局所環から切断されたべき級数環への上への写像を用いて、過収束固有形式を構成する。
• Leopoldtの予想の下で、代数的整数のp進対数関数を用いて非古典的形式のフーリエ係数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ヒルベルト固有多様体は古典的重み1ヒルベルトモジュラー形式で滑らかになるか？
• RQ2 そのような点における重み写像のファイバーの接空間次元は何か？
• RQ3 重み写像はどのような条件下で古典的重み1点でエタールになるか？
• RQ4 重み1の点に非古典的過収束固有形式を構成できるか。そのフーリエ係数はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 代数的数のp進対数関数は、重み1の過収束ヒルベルトモジュラー形式のフーリエ係数とどのように関係するか？

主な発見

• p-正則性および関連する二次拡大体におけるLeopoldtの予想の仮定の下で、ヒルベルト固有多様体は古典的重み1ヒルベルトモジュラー形式で滑らかである。
• そのような点における重み写像のファイバーの接空間次元は、∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i に等しい。ここで e_i および f_i は、p の上にある素点における分岐次数およびインertie次数である。
• 準正則局所の接空間次元は max{1, ∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i} に等しく、これは通常的構造の存在を反映している。
• S_p が空でないとき、固有多様体の局所環から Q_p 上の切断されたべき級数環への上への写像が存在し、これにより2次元の過収束固有形式の空間が得られる。
• その中には非古典的固有形式が存在し、そのフーリエ係数は代数的数のp進対数関数として表現される。
• この構成は、θ級数に付随する二次体 M におけるLeopoldtの予想の成立に依存する。