[論文レビュー] Lie 3-Algebra Non-Abelian (2,0) Theory in Loop Space

Kuo-Wei Huang, Wung-Hong Huang|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ループ空間形式的枠組み内でのリー3代数構造を用いて、複数のM5-braneの非アーベル(2,0)理論を提案する。すべての場——スカラー場、フェルミオン、2形式ゲージポテンシャルを含む——がループ場として再定式化される。この手法は、ループ空間座標と非可換関係を介して非局所性を組み込み、超対称性の閉じる条件は複雑な制約を生じるが、場の運動方程式を体系的に構成する枠組みを提供し、さらなる解析に不可欠な$̳$-行列の恒等式を導出する。

ABSTRACT

It is believed that the multiple M5-branes are described by the non-abelian (2,0) theory and have the non-local structure. In this note we investigate the non-abelian (2,0) theory in loop space which incorporates the non-local property. All fields will be formulated as loop fields and the two-form potential becomes a part of connection. We make an ansatz for field supersymmetry transformation with a help of Lie 3-algebra and examine the closure condition of the transformation to find the field equations. However, the closure conditions lead to several complex terms and we have not yet found a simple form for some constrain field equations. In particular, we present the clear scheme and several detailed calculations in each step. Many useful $Γ$ matrix algebras are derived in the appendix.

研究の動機と目的

• リー3代数構造とループ空間形式的枠組みを組み合わせることで、複数のM5-braneの非アーベル(2,0)理論を考察すること。
• ループ場の定式化と非可換ループ座標を用いて、(2,0)理論の非局所的性質を組み込むこと。
• リー3代数の構造定数を用いた超対称性変換のアンサンブルを構築し、その閉じる条件を検討すること。
• 閉じる条件から場の運動方程式を導出し、結果として生じる複雑な項を伴う制約に対処すること。
• 今後の(2,0)理論の解析に不可欠な、明示的な$̳$-行列代数の関係を含む、詳細な計算的枠組みを提供すること。

提案手法

• ループパラメータ$s$に沿った積分を用いて、スカラー場、フェルミオン、2形式ゲージポテンシャルをすべてループ場として定式化し、$\dot{C}^\mu(s)$を重み関数として用いる。
• 非可換ループ空間構造として$[C^\mu(s), C^\nu(s)] = Q^{\mu\nu\lambda} \dot{C}^\mu(s)$を導入し、根本的に非局所性を埋め込む。
• 有効ゲージ接続$A^b_{\mu a}(C) = \oint ds~{} B_{\mu\nu a}^b(C(s)) \dot{C}^\nu(s)$を定義し、2形式ゲージポテンシャルを接続に統合する。
• リー3代数を用いた超対称性変換のアンサンブルを提案し、場の成分を$L^\mu / \sqrt{|(L^\nu)^2|}$による正規化を用いて再定義する。
• 11次元時空における広範な$\Gamma$-行列恒等式（$\Gamma^{a_1...a_n}$の交換関係および反交換関係を含む）を導出し、超対称性の閉じる性質を分析する。
• 閉じる性質のチェック中に式を簡略化するため、$\Gamma^{ab}\Gamma^a = (1-n)\Gamma^b$のような和公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー3代数構造を用いたループ空間における非アーベル(2,0)理論は、複数のM5-braneに対して一貫して定式化可能だろうか？
• RQ2 非可換ループ座標を用いたループ空間において、(2,0)理論の非局所的構造は自然にどのように現れるか？
• RQ3 2形式ゲージポテンシャルがループ空間における接続の一部として定式化された場合、その意味は何か？
• RQ4 リー3代数に基づく超対称性変換アンサンブルは閉じるのか？その閉じる条件から生じる制約は何か？
• RQ5 11次元$\Gamma$-行列恒等式は、超対称性代数の閉じる条件を簡略化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、パラメータ$s$に沿った積分と適切な正規化を用いて、スカラー場、フェルミオン、2形式場をすべてループ場として明示的に定式化し、スケール次元を維持する。
• 2形式ゲージポテンシャル$B^{\mu\nu}$は、有効接続$A^b_{\mu a}(C)$に統合され、標準的な2形式ゲージ理論が存在しないにもかかわらず、ループ空間におけるゲージ的構造を示唆する。
• 非可換ループ座標$[C^\mu(s), C^\nu(s)] = Q^{\mu\nu\lambda} \dot{C}^\mu(s)$がループ空間の根本的特徴として導入され、非局所性が埋め込まれる。
• 超対称性の閉じる条件は複雑な場の運動方程式を生じ、特定の制約方程式に対して簡潔な形は得られず、理論の非自明な構造を示唆する。
• 本稿では、11次元空間における包括的な$\Gamma$-行列恒等式を導出し、体系的に適用する。具体的には$\Gamma^{ab}\Gamma^a = (1-n)\Gamma^b$および$\Gamma^{abc}\Gamma^a = (n-2)\Gamma^{bc}$を含み、超対称性解析に不可欠である。
• 付録では、一般恒等式$\Gamma^{b_1...b_n}\Gamma^{a_1...a_n} = \sum_{p=0}^{\min(n,m)} \frac{n!m!}{(n-p)!(m-p)!p!} \Gamma^{[b_1...b_{n-p}}{}^{[a_{p+1}...a_m}} g^{b_{n-p+1}...b_n]}{}_{a_1...a_p]}$を含む詳細な$\Gamma$-行列代数が提供され、高ランクテンソルの計算に不可欠である。