[論文レビュー] Limitations of some simple adiabatic quantum algorithms

Lawrence M. Ioannou, Michele Mosca|ArXiv.org|Feb 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単純な断熱的量子アルゴリズムの限界を分析し、初期ハミルトニアン $ H_0 $ がアダマール基底で対角で、最終ハミルトニアン $ H_1 $ が計算基底で対角である場合、量子ビット数に関して準指数的実行時間に到達するためには、両方のハミルトニアンがそれぞれ少なくとも2つの大きな、互いに直交する固有空間を持つ必要があることを証明している。本研究は、ファリオとガットマンの最適性結果を強化し、ハミルトニアンがアダマール基底で対角である限り、均一な重ね合わせ初期状態を上回る性能を示すことはできないことを示している。

ABSTRACT

Let $H(t)=(1-t/T)H_0 + (t/T)H_1$, $t\in [0,T]$, be the Hamiltonian governing an adiabatic quantum algorithm, where $H_0$ is diagonal in the Hadamard basis and $H_1$ is diagonal in the computational basis. We prove that $H_0$ and $H_1$ must each have at least two large mutually-orthogonal eigenspaces if the algorithm's running time is to be subexponential in the number of qubits. We also reproduce the optimality proof of Farhi and Gutmann's search algorithm in the context of this adiabatic scheme; because we only consider initial Hamiltonians that are diagonal in the Hadamard basis, our result is slightly stronger than the original.

研究の動機と目的

• 単純な断熱的量子アルゴリズムの構造的制限を特定し、量子ビット数に関して準指数的実行時間を達成できない理由を明らかにすること。
• 断熱的進化の効率性を達成するための $ H_0 $ および $ H_1 $ の固有空間構造の役割を分析すること。
• 初期ハミルトニアンがアダマール基底で対角である制限のもとで、連続時間量子探索におけるファリオとガットマンの最適性結果を強化すること。
• 初期ハミルトニアンに対する最小限の仮定のもとで、断熱的アルゴリズムの実行時間の一般下界を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、時間に依存するハミルトニアン $ H_{\textrm{gen}}(t) = (1-s(t))H_0 + s(t)H_1 $ を用いて断熱的進化をモデル化し、$ s(t) $ は 0 から 1 まで滑らかに増加する関数である。
• $ H_0 $ と $ H_1 $ は計算空間の分割を介して定義され、$ H_0 $ はアダマール基底で対角で、$ H_1 $ は計算基底で対角である。
• 解析はシュレーディンガー方程式を用いて、時間発展状態と初期の均一重ね合わせ状態との重ね合わせの変化率を追跡する。
• コーシー＝シュワルツ不等式を適用して、初期状態からの振幅漏れの速度を抑え、必要な進化時間 $ T $ の下界を導出する。
• 著者たちは $ |\langle u|\psi(T)\rangle|^2 $ の境界を導出し、$ T $ が指数的に大きくなければ、その値が速やかに減少しないことを示している。
• 対称性により、同様の議論を最終ハミルトニアンに対しても適用し、$ H_0 $ と $ H_1 $ が両方とも大きな直交固有空間を持つことで、準指数的実行時間が可能になることを証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で $ H_0 $ と $ H_1 $ が断熱的量子アルゴリズムの準指数的実行時間を達成できるか？
• RQ2 アダマール基底で対角である初期ハミルトニアンのうち、探索問題において均一重ね合わせ状態を上回る性能を示せるものは存在するか？
• RQ3 効率的な断熱的進化を達成するために必要な $ H_0 $ および $ H_1 $ の第二固有空間の最小サイズは何か？
• RQ4 $ H_0 $ や $ H_1 $ の最大固有空間の次元は、実行時間の下界にどのように影響するか？

主な発見

• もし $ H_0 $ の最大固有空間が小さいならば、高確率での解を得るためには指数的時間 $ T $ が必要となる。
• 同様に、$ H_1 $ の最大固有空間が小さい場合、アルゴリズムは指数的時間 $ T $ を必要とする。
• 準指数的実行時間を達成するためには、$ H_0 $ と $ H_1 $ の両方が少なくとも2つの大きな、互いに直交する固有空間を持つ必要がある。
• 導出された境界 $ |\langle w|\psi_B(T)\rangle|^2 \leq \frac{2E_1T}{\sqrt{N}} + \frac{1}{\sqrt{N}} $ は、高い成功確率を達成するためには $ T $ が指数的に大きくなければならないことを示している。
• ファリオとガットマンの最適性証明を強化し、アダマール基底で対角であるハミルトニアンであれば、探索問題において均一初期状態を上回る性能を示すことはできないことを示している。
• 解析により、$ H_0 $ および $ H_1 $ の第二固有空間の次元が、アルゴリズムの複雑さを決定する重要な要因であることが明らかになった。