[論文レビュー] Line bundles on perfectoid covers: case of good reduction

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、良い還元をもつrigid空間のperfectoid被覆に対して、極限のPicard群が特別なファイバーを用いて記述できることを確立している。特に、特徴が $p$ であるperfectoid体上の超特異的多様体 $X$ に対して、$\operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}}) = \operatorname{Pic}(\overline{X})[\frac{1}{p}]$ が成り立つ。この結果は、abeloid多様体のpro-étale被覆へと拡張され、perfectoid空間のPicard群が一般には $p$-可除的でも、離散的でもないことが明らかになった。

ABSTRACT

We study Picard groups and Picard functors of perfectoid spaces which are limits of rigid spaces. For sufficiently large covers that are limits of rigid spaces of good reduction, we show that the Picard functor can be represented by the special fibre. We use our results to answer several open questions about Picard groups of perfectoid spaces from the literature, for example we show that these are not always $p$-divisible. Along the way, we construct a "Hodge--Tate spectral sequence for $\mathbb G_m$" of independent interest.

研究の動機と目的

• 良い還元をもつrigid空間のprofinite perfectoid極限におけるPicard群の構造を理解すること。
• good reduction をもつsmooth rigd空間のperfectoid tilde極限に対して、引き戻し写像 $\varinjlim \operatorname{Pic}(X_i) \to \operatorname{Pic}(X_\infty)$ の核と余核を特定すること。
• perfectoid空間のPicard群が常に $p$-可除的、torsion-free、または離散的であるかどうかを調査すること。
• $\mathcal{O}^\times$ に対して乗法的Hodge–Tateスペクトル系列を構成し、それを均質化問題に応用すること。
• proper rigd空間のpro-フィニット-étale極限のPicard函手が、特別なファイバーがdiamondである場合でも、diamondでないことがあることを示すこと。

提案手法

• diamondとpro-étaleコホモロジーの枠組みを用いて、perfectoid極限上の線分束を分析する。
• $\mathcal{O}^\times$ に対する乗法的Hodge–Tateスペクトル系列を適用し、コホモロジー的データとPicard群を関連付ける。
• 良い還元の仮定を活用して、特別なファイバーを介して $\operatorname{Pic}(X_\infty)$ を $\operatorname{Pic}(\overline{X}_i)$ と関連付ける。
• Raynaudの均質化を用いて、abeloid多様体のpro-étale被覆のPicard群を記述する。
• Tate曲線とそのperfectoid被覆を用いた具体例を構成し、非$ p $-可除性を示す。
• Cartan–Leray系列を適用して、$A$ をTate曲線とするとき $X = A^{\mathrm{perf}}$ の $\operatorname{Pic}(X)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 smooth rigd空間のgood reduction をもつperfectoid tilde極限 $X_\infty = \varinjlim X_i$ に対して、引き戻し写像 $\varinjlim \operatorname{Pic}(X_i) \to \operatorname{Pic}(X_\infty)$ の核と余核は何か？
• RQ2 特徴が $p$ であるperfectoid体上のrigid空間 $X$ に対して、自然な写像 $\operatorname{Pic}(X)[\frac{1}{p}] \to \operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}})$ は同型か？
• RQ3 perfectoid空間のPicard群は常に $p$-可除的、$p$- torsion-free、または離散的か？
• RQ4 proper rigd空間のpro-フィニット-étale極限のPicard函手は、diamondのままであるか？
• RQ5 perfectoid空間に対して、$\sharp$-写像 $\operatorname{Pic}(X^\flat) \to \operatorname{Pic}(X)$ は同型写像か？

主な発見

• 特徴が $p$ であるperfectoid体上の良い還元をもつ超特異的多様体 $X$ に対して、$\operatorname{Pic}(X^{\mathrm{perf}}) = \operatorname{Pic}(\overline{X})[\frac{1}{p}]$ が成り立ち、perfectoid被覆のPicard群と特別なファイバーとの直接的な関係が確立された。
• Tate曲線 $A = \mathbb{G}_m / q^\mathbb{Z}$ のperfectoid被覆 $X^{\mathrm{perf}}$ のPicard群は、正確な完全系列 $0 \to q^{\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z}} \to K^\times / q^\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}(X) \to \mathbb{Z}[\frac{1}{p}] \to 0$ に含まれており、これは $p$-可除的でも、離散的でもないことを示している。
• $\sharp$-写像 $\operatorname{Pic}(X^\flat) \to \operatorname{Pic}(X)$ は一般には同型でない。明示的な降下データの比較により、非自明な核と余核を持つことが示された。
• 良い還元をもつabeloid多様体 $B$ のpro-フィニット-étale極限のPicard函手 $\underline{\operatorname{Pic}}_{\widetilde{B}}$ は、$\underline{\operatorname{Pic}}_{\overline{B}}^=\diamondsuit[\frac{1}{p}]$ に同型であるが、この函手はdiamondでない。これはtilting理論からの期待とは反する。
• 特徴が0であるperfectoid空間 $X$ のPicard群は、一般には $p$-可除的ではない。これはTate曲線のperfectoid被覆の例によって示された。
• $\mathcal{O}^\times$ に対して乗法的Hodge–Tateスペクトル系列を構成することで、perfectoid極限における線分束のコホモロジー的制御が可能となり、主結果の鍵となる技術的道具が得られた。