[論文レビュー] LMI representations, determinants of monic linear pencils and decomposition into irreducible pencils

Tom-Lukas Kriel|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヘルトンとマクカロウの自由スペクトラヒドラに関する結果について、新しい証明と一般化を提供する。これは、基準点がゼロでない場合でも、モニック線形ペナルティで定義される有界な行列凸集合が自由スペクトラヒドラであることを示している。また、行列式の可約性がペナルティ自体の可約性を意味することを確立し、それにより既約かつ最小の成分への分解が可能になる。

ABSTRACT

In 2009 Helton and McCullough proved: If $p \in S(\mathbb{C}\! \!)^{\delta imes \delta}$ is a hermitian matrix polynomial with $p(0)=I_\delta$ and the connected components $\mathcal{D}_p(0)(k)$ of the sets $\{ X \in (S\mathbb{R}^{k imes k})^n | p(X) ext{ is invertible}\}$ containing $I_k \otimes 0$ are bounded and form a matrix convex set, then $\mathcal{D}_p(0)$ is a free spectrahedron. We will give a new proof of this statement and generalize it by showing what happens when $0$ is replaced by a matrix point. Apart from that we show how the minimal size of all descriptions of a free spectrahedron $\mathcal{D}_L$ defined by a monic linear pencil $L$ is encryted in the level hierarchy of the set $\mathcal{D}_L$. Furthermore we look at the determinants of monic linear pencils $L$ and analyze what can be said about properties of $\mathcal{D}_L$ using only those determinants. Although the determinants carry basically the same information as the pencil, this information is harder to access. We show: If $L$ is a monic linear pencil and the determinants of $L$ are reducible on each level, then also $L$ is reducible as a pencil. This fact allows us to deduce that linear pencils allow a decomposition as a direct sums of simultaneously irreducible and minimal ones.

研究の動機と目的

• 原点ではなく任意の行列点を基準点として用いることで、ヘルトンとマクカロウの自由スペクトラヒドラに関する定理を一般化すること。
• 集合のレベル階層を用いて、自由スペクトラヒドラのスペクトラヒドラ記述の最小サイズを特徴付けること。
• 定義されたモニック線形ペナルティの行列式から、自由スペクトラヒドラの性質をどのように導けるかを分析すること。
• モニック線形ペナルティの行列式の可約性とペナルティ自体の可約性との間の関係を確立すること。

提案手法

• ヘルトンとマクカロウの元々の証明を、原点ではなく任意の行列点で動作するように適応すること。
• 自由スペクトラヒドラのレベル階層を分析し、その線形行列不等式（LMI）表現の最小サイズを特定すること。
• ペナルティの構造を表すために、モニック線形ペナルティの行列式を代理として用い、そのレベルごとの代数的性質を研究すること。
• スペクトル的性質と構造的分解との関係を導くために、行列凸性と線形代数の技術を適用すること。
• 線形ペナルティの文脈において、既約性と最小性の概念を用いて、分解定理を導出すること。
• 行列式がすべてのレベルで可約であれば、ペナルティ自体も可約であり、直和分解が可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モニック線形ペナルティで定義される行列凸集合が、基準点がゼロでない場合でも自由スペクトラヒドラのままである条件は何か？
• RQ2 自由スペクトラヒドラのレベル階層は、そのLMI表現の最小サイズをどのように符号化しているか？
• RQ3 各レベルにおけるモニック線形ペナルティの行列式の可約性から、ペナルティの構造的情報をどのように回復できるか？
• RQ4 モニック線形ペナルティの行列式の可約性とペナルティ自体の可約性との間に直接的な関係はあるか？
• RQ5 すべてのモニック線形ペナルティは、同時に既約かつ最小のペナルティの直和に分解可能か？

主な発見

• 本稿は、ヘルトン＝マクカロウの定理を任意の行列点に一般化し、モニック線形ペナルティで定義される有界な行列凸集合が、基準点がゼロでない場合でも自由スペクトラヒドラであることを示している。
• 自由スペクトラヒドラのLMI表現の最小サイズは、集合のレベル階層に符号化されており、階層が深いほど最小表現が大きくなることを示している。
• モニック線形ペナルティの行列式がすべてのレベルで可約であれば、ペナルティ自体も線形ペナルティとして可約である。
• 各レベルにおける行列式の可約性は、ペナルティがより小さなペナルティの直和に分解可能であることを意味する。
• すべてのモニック線形ペナルティは、同時に既約かつ最小のペナルティの直和に分解可能であり、これにより標準形が確立される。