[論文レビュー] Local and Global Phaseless Sampling in Real Spline Spaces

Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実スプライン空間における位相なしサンプリングの必要十分条件を確立し、符号なしサンプルからの非分離関数の復元を可能にする。局所的およびグローバルな位相なしサンプリング列の点密度および分布に基づき特徴付けを行い、このような列が符号を除き関数を一意に特定することを証明し、有限区間および全実数直線上での必要なサンプリング点数に対する明示的な上限を提示する。

ABSTRACT

We study the recovery of functions in real spline spaces from unsigned sampled values. We consider two types of recovery. The one is to recover functions locally from finitely many unsigned samples. And the other is to recover functions on the whole line from infinitely many unsigned samples. In both cases, we give characterizations for a sequence of distinct points to be a phaseless sampling sequence, at which any nonseparable function is determined up to a sign on an interval or on the whole line by its unsigned sampled values. Moreover, for the case of local recovery, we also study the almost phaseless sampling and give a necessary and sufficient condition for a sequence of points to admit local recovery for almost all functions.

研究の動機と目的

• 実スプライン空間における非分離関数が符号なしサンプルから局所的に復元可能となるようなサンプリング点列の条件を特定すること。
• 全実数直線上の関数に対してグローバルな位相なしサンプリング列であるための必要十分条件を確立すること。
• 位相なしサンプリングの文脈において、復元可能（非分離）と非復元可能（分離）な関数の違いを分析すること。
• 有限次元部分空間におけるほとんどすべての関数が強度測定値から復元可能であるような状況における、ほぼ位相なしサンプリングの特徴付けを提供すること。
• 1次スプライン（m=1）と高次スプライン（m≥2）における位相なしサンプリングの挙動を比較すること、特に周期的サンプリング設定における特徴を強調すること。

提案手法

• 区間 [N₁, N₂] の部分区間における点集合の基数制約を用いて、局所的位相なしサンプリングの必要十分条件を導出する。これには境界および内部区間が含まれる。
• シフト不変空間におけるBスプライン関数の構造とその線形結合を用いて、強度測定値のみからの関数復元を分析する。
• 補助関数 f₁ と f₂ が台が互いに重複しない（f = f₁ + f₂）関数として分離可能であることを定義し、強度測定値からの符号を除いた関数の一意性が保証されない関数を特定する。
• 重複する区間における十分なサンプリング密度を確保し、スプライン基底関数の性質を用いて、局所的サンプリング列をグローバルな復元に拡張する技術を導入する。
• 関数 f₁ と f₂ の台構造に基づくケース解析を実施し、|f₁(x)| = |f₂(x)| がサンプリング集合 E 上で成り立つ場合、サンプリング条件を満たす限り、このような関数は分離可能でなければならないことを示す。
• 無限次元空間におけるフレーム理論および位相回復の結果を応用し、特に形 {nα + β} の周期的列に対してグローバルなサンプリング条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる点から成る点列が、有限区間上での実スプライン空間に属する任意の非分離関数を符号を除き一意に復元可能であるための条件は何か？
• RQ2 実スプライン空間に属する関数が、全実数直線上で無限個の符号なしサンプルからグローバルに復元可能となる条件は何か？
• RQ3 Bスプライン基底関数の次数 m が、位相なしサンプリング列の構造および密度要件にどのように影響を与えるか？
• RQ4 周期的列 {nα + β} が Vₘ に対してグローバルな位相なしサンプリング列であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 位相なしサンプリングが「ほぼ」可能であるとはどのような意味か？ 有限次元部分空間に属するほとんどすべての関数が強度測定値から復元可能であるための条件は何か？

主な発見

• 点列 E ⊂ [N₁, N₂] が Vₘ|_[N₁,N₂] に対して局所的位相なしサンプリング列であるための必要十分条件は、以下の4つの基数条件を満たすことである：(1) |E| ≥ 2(N₂−N₁+m)−1、(2) 1 ≤ k ≤ N₂−N₁ に対して |E ∩ [N₁, N₁+k)| ≥ 2k + m − 1、(3) 1 ≤ k ≤ N₂−N₁ に対して |E ∩ (N₂−k, N₂]| ≥ 2k + m − 1、(4) すべての N₁ ≤ n₁ < n₂ ≤ N₂ に対して |E ∩ (n₁,n₂)| ≥ 2(n₂−n₁)−1。
• E が上記の条件を満たし、すべての x ∈ E に対して |f₁(x)| = |f₂(x)| が成り立つならば、すべての x ∈ [N₁, N₂] に対して |f₁(x)| = |f₂(x)| が成り立つ。これにより符号を除いた一意性が保証される。
• グローバルな位相なしサンプリングにおいて、列 {nα + β} が Vₘ に対して位相なしサンプリング列であるための必要十分条件は、m ≥ 2 のとき 0 < α < 1/2 であることである。
• m = 1 のとき、列 {nα + β} が位相なしサンプリング列であるための必要十分条件は、0 < α < 1/2 または α = 1/2 かつ β = 0 であることである。
• 本稿では、[N₁, N₂] 内に均等に分布する K ≥ N₂−N₁+m+1 個のサンプリング点が、Vₘ|_[N₁,N₂] に対して「ほぼ」位相なしサンプリング列であることを示す例を提示する。
• 局所的サンプリングにおいて、内部に K ≥ 2(N₂−N₁)−3 個の点を配置し、端点付近に 2(m+1) 個の点を配置することで、内部点と組み合わせることで位相なしサンプリングが可能になる。