[論文レビュー] Phase Retrieval of Real-Valued Signals in a Shift-Invariant Space

Yang Chen, Cheng Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 44被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、位相なしのサンプルからの実信号の位相再構成のための条件を確立し、非可分信号が符号を除き一意に回復可能であることを証明している。また、スプライン信号の順序が $N$ の場合、$2N-1$ のサンプリングレートで、ノイズのある位相なしのサンプルからも信号を安定して再構成可能な、耐障害性があり分散型のアルゴリズムを提案している。誤差の境界はノイズレベルと信号パラメータに依存する。

ABSTRACT

Phase retrieval arises in various fields of science and engineering and it is well studied in a finite-dimensional setting. In this paper, we consider an infinite-dimensional phase retrieval problem to reconstruct real-valued signals living in a shift-invariant space from its phaseless samples taken either on the whole line or on a set with finite sampling rate. We find the equivalence between nonseparability of signals in a linear space and its phase retrievability with phaseless samples taken on the whole line. For a spline signal of order $N$, we show that it can be well approximated, up to a sign, from its noisy phaseless samples taken on a set with sampling rate $2N-1$. We propose an algorithm to reconstruct nonseparable signals in a shift-invariant space generated by a compactly supported continuous function. The proposed algorithm is robust against bounded sampling noise and it could be implemented in a distributed manner.

研究の動機と目的

• シフト不変空間に属する実信号が、位相なしのサンプルからいつ一意に再構成可能かを特定すること。
• 有界なサンプリングノイズ下での非可分信号の安定的かつ分散型再構成アルゴリズムを開発すること。
• コンパクトにサポートされた連続生成関数によって生成されるシフト不変空間における位相再構成に必要な最小サンプリングレートを同定すること。
• 有限次元の位相再構成結果を、特にスプライン信号に対して無限次元設定に拡張すること。
• シフト不変空間におけるノイズのある大きさ測定値下での位相再構成の安定性を分析すること。

提案手法

• シフト不変空間に属する信号が、符号を除き位相再構成可能であるための必要十分条件として、それが二つの台が不重複な非ゼロ信号の和に分解できないこと（非可分であること）であることを証明する。
• スプライン信号の順序が $N$ の場合、$2N-1$ のサンプリングレートを持つ集合、特に $(0,1)$ 内に $2N-1$ 個の異なる点を持つ $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 上での位相なしのサンプルを用いて、位相再構成可能であることを確立する。
• 信号をセグメントに分割し、係数を反復的に推定することで、ノイズのある位相なしのサンプルから信号を再構成する MEPS アルゴリズム（マルチスケール推定と位相合成）を提案する。
• 重複するウィンドウを用いたブロック単位の係数推定戦略を採用し、生成関数の性質から導かれる $N \times N$ 行列 $\Phi_N$ の逆行列性を活用して安定性を確保する。
• 帰納法と内積解析を用いて、推定係数と真の係数の間の誤差を評価し、$\ell^2$-誤差がノイズレベル $|\boldsymbol{\epsilon}|$ に従って減少することを示す。
• 重複領域における符号の一貫性を保つことで、セグメント間でグローバル位相を回復し、正しい信号のグローバル符号を復元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフト不変空間に属する実信号が、その大きさ測定値からいつ一意に再構成可能か？
• RQ2 コンパクトにサポートされた連続関数によって生成されるシフト不変空間における非可分信号は、$2N-1$ より低いサンプリングレートで位相なしのサンプルから再構成可能か？
• RQ3 スプライン信号の順序 $N$ に対して、安定な位相再構成に必要な最小サンプリングレートは何か？
• RQ4 大きさ測定値における有界な加法的ノイズに対して、どのように位相再構成を耐障害性高く行えるか？
• RQ5 無限次元信号に対して、分散的かつスケーラブルな方法で再構成プロセスを実装できるか？

主な発見

• 実信号 $f \in V(\phi)$ が、すべての $t \in \mathbb{R}$ に対して $|f(t)|$ から一意に再構成可能であるための必要十分条件は、それが二つの台が不重複な非ゼロ信号の和に分解できないこと（非可分であること）である。
• スプライン信号の順序が $N$ の場合、$2N-1$ のサンプリングレートを持つ集合、特に $(0,1)$ 内に $2N-1$ 個の異なる点を持つ $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 上での位相なしのサンプルから、位相再構成が可能である。
• 提案された MEPS アルゴリズムは、ノイズのある位相なしのサンプルから $V(\phi)$ 内の非可分信号を再構成でき、$\ell^2$-誤差が $C \sqrt{|\boldsymbol{\epsilon}|}$ で有界である。ここで $C$ は $\|\Phi_N^{-1}\|$, $C_{f,\phi}$, $N$ に依存し、$|\boldsymbol{\epsilon}|$ はノイズレベルを表す。
• アルゴリズムは有界なサンプリングノイズに対して耐障害性があり、重複する信号セグメントにわたる分散型で実装可能である。
• 線形スプライン（$N=2$）の場合、非一様集合 $Y_\infty = X \cup (\Gamma + \mathbb{Z}_+) \cup (\Gamma^* + \mathbb{Z}_-)$ 上でサンプリングレート 2 でも位相再構成が可能であり、$X$ には $2N-1=3$ 個の点が含まれる。
• 重複領域における係数推定値の符号の一貫性を保つことでグローバル位相を回復し、最終的な誤差境界はノイズが減少するにつれて $\ell^2$-収束を示す。