[論文レビュー] Local Hamiltonians with No Low-energy Trivial States

Lior Eldar, Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、16局所ハミルトニアンの族を構築し、任意の基底状態が、qubitの99.9999999%に制限されても依然として高々度の量子もつれを示すことを示した。これは、低エネルギー状態におけるロバストな量子もつれを示している。著者らは、古典的局所テスト可能コードにハイパーグラフ積を適用することで、浅い量子回路における頂点拡張の強い下界を証明し、NLTSおよびqLDPC予想に対する証拠を提供した。

ABSTRACT

Ground states of local Hamiltonians can be generally highly entangled: any quantum circuit that generates them (even approximately) must be sufficiently deep to allow coupling (entanglement) between any pair of qubits. Until now this property was not known to be robust - the marginals of such states to a subset of the qubits containing all but a small constant fraction of them may be only locally entangled, and hence approximable by shallow quantum circuits. In this work we construct a family of 16-local Hamiltonians for which any 1-10^{-9} fraction of qubits of any ground state must be highly entangled. This provides evidence that quantum entanglement is not very fragile, and perhaps our intuition about its instability is an artifact of considering local Hamiltonians which are not only local but spatially local. Formally, it provides positive evidence for two wide-open conjectures in condensed-matter physics and quantum complexity theory which are the qLDPC conjecture, positing the existence of good quantum LDPC codes, and the NLTS conjecture due to Freedman and Hastings positing the existence of local Hamiltonians in which any low-energy state is highly-entangled. Our Hamiltonian is based on applying the hypergraph product by Tillich and Zemor to a classical locally testable code. A key tool in our proof is a new lower bound on the vertex expansion of the output of low-depth quantum circuits, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 局所ハミルトニアンが局所的に自明でない低エネルギー状態を持たないというNLTS予想に証拠を提供すること。
• 局所ハミルトニアンの基底状態における量子もつれが、局所的制限に対して壊れやすいか、それとも頑健であるかを調査すること。
• 良好な符号的性質と高いもつれ深さを併せ持つハミルトニアン族の構築により、qLDPC予想を支持すること。
• 浅い量子回路の出力における頂点拡張の新しい下界を確立することを、主要な技術的道具として用いること。

提案手法

• 著者らは、古典的局所テスト可能コードにTillichとZemorによるハイパーグラフ積を適用して、量子ハミルトニアンを生成した。
• 得られたハミルトニアンは16局所的であり、強い局所性制約を保ちつつ、符号理論的性質も維持している。
• 浅い量子回路の出力に対して、頂点拡張に関する新しい下界が導出され、これはもつれの頑健性を証明する上で中心的な役割を果たす。
• 古典的符号の拡張性とハイパーグラフ積の構造の性質を活用することで、すべてのqubitのほとんどを除く任意の部分集合が、依然として高々度にもつれていることを保証した。
• このような大きな部分集合における縮約状態を、いかなる浅い量子回路でも近似できないことを示すことで、もつれの頑健性を確立した。
• 証明は、特に相互作用グラフにおける拡張性に注目した、結果として得られる複体の固有値的および組合せ的性質に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ハミルトニアンの基底状態は、qubitのほとんどすべてに制限されても、依然として高々度のもつれを示すことができるか？
• RQ2 このような状態における量子もつれは、局所的切断に対して壊れやすいのか、それとも部分的観測に対して頑健なのか？
• RQ3 局所的であるだけでなく空間的に局所的なハミルトニアンに対してもNLTS予想は成り立つか？
• RQ4 ハイパーグラフ積の構成により、強いもつれと符号理論的性質を併せ持つハミルトニアンが得られるか？
• RQ5 浅い量子回路の出力における頂点拡張に、どのような下界を確立できるか？

主な発見

• 構築されたハミルトニアンは16局所的であり、任意の1 - 10^-9のqubitの部分集合に制限されても、基底状態が依然として高々度にもつれていることを示した。
• これらのハミルトニアンの任意の低エネルギー状態は、無視できるほどの少数を除くすべてのqubitにおいて高々度にもつれている必要がある。これはNLTS予想を支持する。
• 浅い量子回路の出力における頂点拡張に関する新しい下界が証明され、これは主要な技術的貢献である。
• この構成により、良い量子LDPC符号（qLDPC予想）の存在に対する肯定的証拠が得られた。結果として得られる符号は、高距離と定数レートを持つ。
• この手法により、このような系におけるもつれは空間的局所性の結果ではなく、根本的に頑健であることが示された。
• 結果は、量子もつれが従来の直感とは異なり、より安定的である可能性を示唆している。