[論文レビュー] Local Langlands correspondence for Asai L-functions and epsilon factors

Daniel Shankman|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p進局所体の二次拡大 E/F における GLₙ(E) の既約で適切な表現の Asai L関数と ε因子の等価性を確立する。Langlands-Shahidi 法と特定関数の一様滑らか性を用いて、ガンマ因子の等価性が Asai 表現における完全な局所 Langlands 対応を示すことを証明し、この場合の予想的対応を完成させる。

ABSTRACT

Let E/F be a quadratic extension of p-adic fields. The local Langlands correspondence establishes a bijection between n-dimensional Frobenius semisimple representations of the Weil-Deligne group of E and smooth, irreducible representations of GL(n,E). We reinterpret this bijection in the setting of the Weil restriction of scalars Res(GL(n),E/F), and show that the Asai L-function and epsilon factor on the analytic side match up with the expected Artin L-function and epsilon factor on the Galois side. This paper is based off of the author's forthcoming doctoral thesis.

研究の動機と目的

• 局所 Langlands 対応が p進の場合の Asai L関数と ε因子に対して成立することを確立すること。
• 表現 π の Asai L関数と ε因子が、Asai 表現による関連する Galois 表現と一致することを証明すること。
• ガンマ因子の等価性が p進設定において L関数と ε因子の等価性を示すこと。
• Langlands-Shahidi 法を用いて、Res_{E/F}GLₙ 上の Asai 表現における予想的局所 Langlands 対応を完成させること。
• 既知のアーチメデス的および GLₙ の結果を、Weil 約分群上の Asai 表現へと拡張すること。

提案手法

• Langlands-Shahidi 法を用いて、GLₙ(E) の表現の Asai L関数と ε因子を定義する。
• Weil のスカラー拡大を適用し、Res_{E/F}GLₙ の L群を Gal(E/F) と GL(V)×GL(V) の半直積として特定する。
• R(T,S) = T⊗S および R(σ)(v⊗v′) = v′⊗v を用いて、Asai 表現 R: ⁱLℳ → GL(V⊗V) を構成する。
• GLₙ における既知の局所 Langlands 対応と、Weil 約分による対応の整合性に依拠する。
• 行列係数の一様滑らか性を用いて、文字 η が高々分岐しているとき、特定の積分が消えることを示す。
• 基本変換の議論と、ガンマ因子の等価性が根の単位根の差に帰着されることを用いて、主要結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所 Langlands 対応は p進設定における Asai L関数と ε因子に対して成立するか？
• RQ2 Asai 表現のガンマ因子の等価性が、L関数と ε因子の等価性を導くことができるか？
• RQ3 GLₙ(E) の表現 π の Asai L関数は、Asai 表現による関連する Galois 表現の L関数と一致するか？
• RQ4 GLₙ の局所 Langlands 対応は、Asai 表現を介して Weil 約分群 Res_{E/F}GLₙ へと拡張可能か？
• RQ5 行列係数と分岐文字を含む特定の積分の消滅が、L因子の等価性の証明に用いられるか？

主な発見

• 任意の GLₙ(E) の既約で適切な表現 π に対して、Asai L関数 L(s,π,ℛ) は L(s,ℛ∘ρ) に等しい、ここで ρ は対応する Galois 表現である。
• ε因子 ε(s,π,ℛ,ψ) は ε(s,ℛ∘ρ,ψ) に等しく、Asai 表現における予想的局所 Langlands 対応が確認された。
• ガンマ因子の等価性 γ(s,π,ℛ,ψ) = γ(s,ℛ∘ρ,ψ) は、p進設定において L関数と ε因子の等価性を示す。
• 文字 η が十分に高々分岐しているとき、特定の部分群上の積分が消えることを示すことで、証明に依拠している。
• 変数変換と滑らか性の性質を用いて、グローバル zeta 積分の差の消滅 C_χ(s,π₁η)⁻¹ − C_χ(s,π₂η)⁻¹ = 0 が確立された。
• 結果として、p進設定における Res_{E/F}GLₙ 上の Asai 表現に対する局所 Langlands 対応が完成し、GLₙ およびアーチメデス的群に関する先行結果に基づく。