[論文レビュー] Local Models For The Moduli Stacks of Global $G$-Shtukas

Esmail Arasteh Rad, Somayeh Habibi|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、志村多様体の関数体版であるグローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックの局所モデルを、二つのアプローチで構築する。一つはグローバルな有界性条件とグローバルアフィングラスマンニアン内のシューベルト多様体を用いたもので、もう一つは特徴的場所における局所${\mathbb{P}}$-シトゥカへの変形理論による関係を用いたものである。主な結果として、正則的分岐をもつ${\mathfrak{G}}$について、反射環上での平坦性の証明に加え、コットヴィッツ＝ラポポート層構造の導入と、特異ファイバーにおける交差コホモロジーの解析がなされる。

ABSTRACT

In this article we develop the theory of local models for the moduli stacks of global $G$-shtukas, the function field analogs for Shimura varieties. Here $G$ is a smooth affine group scheme over a smooth projective curve. As the first approach, we relate the local geometry of these moduli stacks to the geometry of Schubert varieties inside global affine Grassmannian, only by means of global methods. Alternatively, our second approach uses the relation between the deformation theory of global $G$-shtukas and associated local $P$-shtukas at certain characteristic places. Regarding the analogy between function fields and number fields, the first (resp. second) approach corresponds to the Beilinson-Drinfeld-Gaitsgory (resp. Rapoport-Zink) local model for (PEL-)Shimura varieties. As an application, we prove the flatness of these moduli stacks over their reflex rings, for tamely ramified group $G$. Furthermore, we introduce the Kottwitz-Rapoport stratification on these moduli stacks and discuss the intersection cohomology of the special fiber.

研究の動機と目的

• グローバルアフィングラスマンニアンの閉部分スキームを用いた等価類としてのグローバル有界性条件${\cal{Z}}$を定義し、コワイト境界の概念を一般化することで、グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックに対するグローバル理論を確立する。
• 固定された特徴的場所$\nu_i$における変形理論を用いて、グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカと関連する局所${\mathbb{P}}$-シトゥカを結びつけることで、志村多様体のラポポート＝ツインクス風の局所モデル理論を構築する。
• 関数体ラングランズプログラムの結果を拡張する形で、正則的分岐をもつ${\mathfrak{G}}$について、モジュライスタックがその反射環上に平坦であることを証明する。
• グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックにコットヴィッツ＝ラポポート層構造を導入し、その研究を進める。
• 一様化写像とボット＝サマエルソン解体を用いて、これらのモジュライスタックの特異ファイバーにおける交差コホモロジーを解析する。

提案手法

• グローバルアフィングラスマンニアンの閉部分スキームの等価類として、コワイト境界の一般化であるグローバル有界性条件${\cal{Z}}$を導入する。
• グローバルアフィングラスマンニアン内に埋め込まれたシューベルト多様体のグローバル幾何を用いて、モジュライスタックの局所構造とグローバル不変量との関係を確立する。
• 固定された特徴的場所$\nu_i$におけるグローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカの変形理論を適用し、それらを関連する局所${\mathbb{P}}$-シトゥカへ結びつけることで、ラポポート＝ツインクス風の局所モデル構成を可能にする。
• Rapoport-Zink空間の積からモジュライスタックへの一様化写像$\Theta$を構成し、局所モデル図式を誘導する。
• アフィンシューベルト多様体のボット＝サマエルソン＝デマールツ解体を用いて、特異ファイバーの交差コホモロジーを解析する。
• 射影的同調的多様体のセル構造と分解定理を用いて、モジュライスタック上のIC層の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的なコワイト境界の概念を一般化した、グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックに対するグローバルな有界性の概念を定義できるか？
• RQ2 グローバルアフィングラスマンニアン内のシューベルト多様体から、グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックの局所幾何がどの程度生成されるか？
• RQ3 グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカの変形理論を用いて、志村多様体のラポポート＝ツインクス風の局所モデルを構成することは可能か？
• RQ4 グローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックの特異ファイバーの構造は何か？また、コットヴィッツ＝ラポポート層構造はその幾何をどのように精緻化するか？
• RQ5 一様化写像を通じて、モジュライスタック上の交差コホモロジー層は、アフィンシューベルト多様体の積上のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• 正則的分岐をもつ${\mathfrak{G}}$について、モジュライスタック$\nabla_{n}^{\cal{Z}}{\mathscr{H}}_{D}^{1}(C,{\mathfrak{G}})$はその反射環上に平坦であることが示され、重要な有限性性質が確立される。
• コットヴィッツ＝ラポポート層構造がグローバル${\mathfrak{G}}$-シトゥカのモジュライスタックに導入され、ニュートン多角形による層構造を精緻化する。
• 特異ファイバーの交差コホモロジーは、一様化写像と分解定理を用いて計算され、IC層はシューベルト多様体の積からの引き戻しとして得られる。
• モジュライスタック上のIC層は、局所モデル図式を通じて、シューベルト多様体の積上のIC層の引き戻し（シフトおよびねじれを除く）と同型である。
• 局所モデル図式は、Rapoport-Zink空間の積から$\prod_i \widehat{Z}_{\nu_i}$への写像を誘導し、一般化されたラングランズ対応を実現する。
• 各$\cal{S}(\omega_i)$のボット＝サマエルソン＝デマールツ解体はセル構造を提供し、分解定理の支援とIC層の計算を可能にする。