[論文レビュー] Local Models in F-Theory and M-Theory with Three Generations

Jacob L. Bourjaily|ArXiv.org|Jan 26, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、$˂E_8$-ALEファイブレーションを用いて、正確に3世代の物質を持つ局所的F理論およびM理論モデルを構築する幾何学的枠組みを提示する。F理論における物質曲線の三重交差とM理論における共線的錐特異点を分析することにより、$E_6 \times U(1)^2$ や $SU(5)$ 統一といった、必要な Yukawa結合とゲージ群構造が、これらのファイブレーションの位相的性質から一般に生じることを示し、半現実的な構造を持つ物理的に妥当なモデルを実現する。

ABSTRACT

We describe a general framework that can be used to geometrically engineer local, phenomenological models in F-theory and M-theory based on ALE-fibrations, and we present several concrete examples of such models that feature three generations of matter with semi-realistic phenomenology. We show that the geometric structures required for generating interactions--triple-intersections of matter-curves in F-theory and supersymmetric three-cycles supporting multiple conical singularities in M-theory--are generic in such ALE-fibred manifolds, and that they can be understood in correspondence with one another. The models we can construct in this way are strictly limited in complexity by the maximality of the E8-ALE space, but turn out to be just complex enough to accommodate some of the most realistic string models to date.

研究の動機と目的

• F理論およびM理論における局所的で物理的に妥当なモデルを構築する一般的な幾何学的枠組みの開発を目的とする。
• 異なる超局所的領域を統合して、3世代の物質を持つ完全で整合的なモデルを構築する課題に対処することを目的とする。
• 現実的なYukawa結合とゲージ群の統一に必要な幾何学的構造が、$˂E_8$-ファイブレーションにおいて一般に生じることを示すこと。
• F理論における三重交差とM理論における共線的錐特異点との間の対応関係を確立し、両者ともゲージ不変な結合項の起源を同定すること。
• $˂E_8$-ALEファイブレーションが、3世代を伴う半現実的なモデルを実現する上で最大限に複雑であり、かつ十分であることを示すこと。特に、3世代を伴う$SU(5)$のグランド統一を含む。

提案手法

• F理論およびM理論における局所的モデル構築の幾何学的基盤として、特に$˂E_8$-ALE空間を用いるALEファイバー多様体を採用する。
• KronheimerによるALE多様体およびそのモジュライ空間の構成を適用し、特異点の解消と関連する2次元サイクルホモロジーを記述する。
• ALEファイバー内の2次元サイクルの面積を用いて物質表現を特定し、電荷はベース座標の線形関数によって決定される。
• F理論における物質曲線の三重交差を分析し、ベース上での3つの線形関数が同時に消えることでゲージ不変なYukawa結合が生成されることを示す。
• F理論における三重交差とM理論における共線的錐特異点との間の対応関係を確立し、両者とも同じゲージ不変演算子を生成することを示す。
• $E_6$を$SU(5)$に、さらに$SO(10)$に展開することで明示的なモデルを構築し、$E_8 \to E_6 \times SU(3)$の随伴表現の分岐により3世代を埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ALEファイバー幾何を用いて、正確に3世代の物質を持つ局所的で物理的に妥当なF理論およびM理論モデルを構築できるか？
• RQ2 F理論およびM理論において、3世代を含むゲージ不変なYukawa結合を生じさせる幾何的条件は何か？
• RQ3 F理論における物質曲線の三重交差は、M理論における共線的錐特異点とどのように対応するか？
• RQ4 $˂E_8$-ALEファイブレーション構造は、3世代を伴う半現実的なモデルを実現するために、どの程度必要かつ十分か？
• RQ5 標準模型のゲージ群と物質スペクトルは、$˂E_8$フレームワーク内での$E_6$および$SO(10)$構造の展開によって幾何学的に設計可能か？

主な発見

• $˂E_8$-ALEファイブレーションの幾何学的構造は、随伴表現 $\mathbf{248} = (\mathbf{78},\mathbf{1}) \oplus (\mathbf{1},\mathbf{8}) \oplus (\mathbf{27},\overline{\mathbf{3}}) \oplus (\overline{\mathbf{27}},\mathbf{3})$ の分岐により、自然に3つの$\mathbf{27}$表現のコピーを含むため、一般に3世代の物質を支持する。
• F理論における物質曲線の三重交差は、ベース上での3つの線形関数が同時に消えることで発生し、$E_6$ GUTモデルにおける$\mathbf{27}\times\mathbf{27}\times\mathbf{27}$結合に対応するゲージ不変なYukawa結合を生成する。
• M理論では、3つの錐特異点が3次元ベース上で共線的である場合にゲージ不変な演算子が生じる。$f_a(t) + f_b(t) + f_c(t) = 0$ という条件が$U(1)$不変性を保証し、特異点の共線性を示唆する。
• 局所的$˂E_8$-ファイブレーションに$E_6$に基づく構造を埋め込むことで、M理論において最小限のスレーブ標準模型を実現する。
• モデル構築は$˂E_8$-ALE空間によって最大限に制約されており、これ以上の複雑さは許されないが、現実的な$SU(5)$および$SO(10)$統一のシナリオを3世代を伴って埋め込むには十分である。
• 明示的なモデルは、$E_6$を$SU(5)$に、さらに$SO(10)$に展開することで構築され、$\mathbf{27}$表現は標準模型の物質スペクトルに下降し、3世代とExotic Higgsを含む。