[論文レビュー] Locality of connective constants, II. Cayley graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、群高さ関数——群構造に結びついた特別なグラフ高さ関数——を導入することで、ケイリー・グラフにおける接続定数の局所性を確立する。正の欠損数とユニモジュラー構造を備えた有限生成群に対して、このような関数が存在することを証明し、線形成長と周期的差異を示す調和関数を用いて局所性の結果を得る。

ABSTRACT

Abstract. The connective constant µ(G) of an infinite transitive graph G is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. In earlier work of Grimmett and Li, a locality theorem was proved for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. A condition of the theorem was that the graphs support so-called ‘graph height functions’. When the graphs are Cayley graphs of infinite, finitely generated groups, there is a special type of graph height function termed here a ‘group height function’. A necessary and sufficient condition for the existence of a group height function is presented, and may be applied in the context of the bridge constant, and of the locality of connective constants for Cayley graphs. Locality may thereby be established for a variety of infinite groups including those with strictly positive deficiency. It is proved that a large class of transitive graphs (and hence Cayley graphs) support graph height functions that are in addition harmonic on the graph. This extends an earlier constructive proof of Grimmett and Li, but subject to an addi-tional condition of unimodularity which is benign in the context of Cayley graphs. It implies the existence of graph height functions for finitely generated solvable groups. The case of non-unimodular graphs may be handled similarly, but the resulting graph height functions need not be harmonic. Group height functions, as well as the graph height functions of the previous paragraph, are non-constant harmonic functions with linear growth and an ad-ditional property of having periodic differences. The existence of such functions on Cayley graphs is a topic of interest beyond their applications in the theory of self-avoiding walks.

研究の動機と目的

• ケイリー・グラフにおける接続定数の局所性を確立し、以前の結果がグラフ高さ関数を必要としていたのを拡張する。
• 有限生成無限群における群高さ関数の存在に関する必要十分条件を特定する。
• 群高さ関数が線形成長と周期的差異を示す非定数調和関数であることを示す。
• ユニモジュラー性のもとで、ケイリー・グラフを含む広範なトランスティヴ・グラフのクラスに、グラフ高さ関数の存在を拡張する。
• 自己回避的ウォーク理論を越えて、ケイリー・グラフにおける線形成長と周期的差異を示す調和関数の構造的意義を明らかにする。

提案手法

• ケイリー・グラフの代数的構造に適合した特別なタイプのグラフ高さ関数としての群高さ関数の概念を導入する。
• 欠損数やユニモジュラー性といった群論的性質に基づき、群高さ関数の存在に関する必要十分条件を確立する。
• グラフ上の調和関数の理論を適用し、ユニモジュラー性のもとで、グラフ高さ関数が調和的であるように構成できることを示す。
• ブリッジ定数を用いて、局所的なグラフ構造とグローバルな接続定数の振る舞いとの関係を定式化する。
• 群高さ関数が、線形成長と周期的差異を示す非定数調和関数をもたらすことを示す。
• ユニモジュラー性をケイリー・グラフの文脈で無害な条件として組み込むことにより、以前の構成的証明を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような群論的条件下で、ケイリー・グラフが接続定数の局所性定理に必要な群高さ関数を有するか？
• RQ2 ユニモジュラー性は、ケイリー・グラフにおけるグラフ高さ関数の存在と調和性にどのように影響するか？
• RQ3 ケイリー・グラフにおいて、群高さ関数と線形成長および周期的差異を示す調和関数の関係は何か？
• RQ4 群の欠損数が正である場合に、群高さ関数を用いて接続定数の局所性を確立できるか？
• RQ5 ケイリー・グラフ上での非定数調和関数が線形成長と周期的差異を示す場合、どのような構造的性質を示すか？

主な発見

• 有限生成無限群における群高さ関数の存在に関する必要十分条件が確立され、群の欠損数とユニモジュラー性と結びつけられる。
• 可解群はユニモジュラー構造を有するため、すべての有限生成可解群に群高さ関数が存在する。
• ケイリー・グラフを含む広範なトランスティヴ・グラフのクラスが、群がユニモジュラーである限り、調和的であるグラフ高さ関数を支持する。
• 得られたグラフ高さ関数は非定数であり、調和的で、線形成長を示し、周期的差異を示す。
• 群の欠損数が正であるケイリー・グラフにおいて、接続定数の局所性が群高さ関数の存在によって確立される。
• この理論は自己回避的ウォークを越えて、周期的差異の性質を有するケイリー・グラフにおける内在的な調和関数構造を明らかにする。