[論文レビュー] Localization of certain odd-dimensional manifolds with torus actions

Chen He|Osaka City University (Osaka City University)|Aug 15, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元1スケルトンに対するGKM型定理を導入することで、トーラス作用をもつ奇数次元多様体へのGKM理論の拡張を試み、GKMグラフを用いた不変コホモロジーの図形的記述を提供する。特定の奇数次元多様体の不変コホモロジーと多項式環の関係による商環との間の環同型を確立し、可換性や可縮性を仮定しない非可縮、奇数次元の設定へと偶数次元GKM理論を一般化する。

ABSTRACT

Let a torus $T$ act smoothly on a compact smooth manifold $M$. If the rational equivariant cohomology $H^*_T(M)$ is a free $H^*_T(pt)$-module, then according to the Chang-Skjelbred Lemma, it can be determined by the $1$-skeleton consisting of the $T$-fixed points and $1$-dimensional $T$-orbits of $M$. When $M$ is an even-dimensional, orientable manifold with 2-dimensional 1-skeleton, Goresky, Kottwitz and MacPherson gave a graphic description of the equivariant cohomology. In this paper, first we revisit the even-dimensional GKM theory and introduce a notion of GKM covering, then we consider the case when $M$ is an odd-dimensional, possibly non-orientable manifold with $3$-dimensional $1$-skeleton, and give a graphic description of its equivariant cohomology.

研究の動機と目的

• 偶数次元多様体へのGKM理論を、トーラス作用をもつ奇数次元多様体へ一般化すること。
• 3次元1スケルトンをもつ奇数次元で、非可縮である可能性のある多様体に対し、不変コホモロジーの図形的記述を構築すること。
• 奇数次元への一般化を支援するため、偶数次元の場合のGKM被覆の概念を導入すること。
• 可縮性や対称的な共維度1作用を仮定しない状況でも成り立つ、多項式環と合同関係を用いた不変コホモロジー環の環同型を提供すること。

提案手法

• 偶数次元GKM理論を再考し、奇数次元への拡張を可能にするためにGKM被覆を定義する。
• 固定点と1次元軌道の構造に基づき、等長重みを用いた、奇数次元多様体に3次元1スケルトンが存在する場合のGKM条件を定義する。
• 1スケルトンからGKMグラフを構成し、固定点と1次元軌道を頂点として表現し、辺のラベルには等長重みを対応付ける。
• Chang-Skjelbred補題を用いて、不変コホモロジーを固定点のコホモロジーの部分環として実現し、辺上の合同関係を課す。
• GKMグラフのデータを用いて、奇数次元多様体の不変コホモロジーと多項式環の商環との間の環同型を確立する。
• 偶数次元と奇数次元のGKM多様体の積、接触多様体およびコシミプレクティック多様体、奇数次元のグラスマン多様体などの例にこの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元1スケルトンをもつトーラス作用をもつ奇数次元多様体へ、GKM理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 多様体が非可縮であっても、不変コホモロジーが1スケルトンによって決定されるための条件は何か？
• RQ3 GKMグラフと合同関係を用いて、奇数次元多様体の不変コホモロジーの図形的記述を構築できるか？
• RQ4 偶数次元におけるGKM被覆の構成が、奇数次元への一般化をどのように支援するか？
• RQ5 可縮性や$K_-=K_+$を仮定しない奇数次元の共維度1多様体の不変コホモロジERINGの構造は何か？

主な発見

• 可縮性を仮定しない奇数次元多様体で、3次元1スケルトンをもつ場合、その不変コホモロジーは固定点の不変コホモロジーの積の部分環に同型であり、GKMグラフの辺上での合同関係を満たす。
• 7次元多様体$N_G^7$の不変コホモロジERINGは$H^*_{T^3}(b{C}P^2)[r]/r^2$に同型であり、$H^*_{T^3}(b{C}P^2) imes H^*(S^3)$の構造と一致する。
• $N_G^7$のGKMグラフは、$S^2 imes S^1$を表す3つの内側の$oxplus$頂点と、$S^3$を表す3つの外側の$oxplus$頂点から構成され、辺のラベルは重みの差$eta_i = eta_j - eta_k$に対応する。
• コホモロジー類の合同関係は、$f_i, g_i$の成分に関する6つの合同条件の系として符号化され、$g_i$は対応する辺のラベルで割り切れる。
• 可縮性や対称的な共維度1構造を仮定しない状況でも、この手法は一般化可能であり、$K_- = K_+$を仮定しない$M o G imes_{K_0} S^{n_0+1}$の構成によってそれが裏付けられる。
• 一般の場合において、可縮性や不変形式性を仮定しないという点で、従来の共維度1結果とは差をなす。