[論文レビュー] Localization of Floer homology of engulfable topological Hamiltonian loop

Yong‐Geun Oh|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体における埋め込み可能な位相的ハミルトニアンループに対するフロー・ホモロジーの局所化を確立し、$C^0$-小の条件下で局所的およびグローバルなラグランジュスペクトル不変量が一致することを証明する。厚-薄分解とハンドルスライディング補題を$C^0$-正則パスへ拡張することで、著者は、埋め込み可能なホモトピーに関してスペクトル不変量がホモトピー的不変であることを示し、従来の$C^2$-小の結果を位相的設定へ一般化する。

ABSTRACT

Localization of Floer homology is first introduced by Floer \cite{floer:fixed} in the context of Hamiltonian Floer homology. The author employed the notion in the Lagrangian context for the pair $(ϕ_H^1(L),L)$ of compact Lagrangian submanifolds in tame symplectic manifolds $(M,ω)$ in \cite{oh:newton,oh:imrn} for a compact Lagrangian submanifold $L$ and $C^2$-small Hamiltonian $H$. In this article, motivated by the study of topological Hamiltonian dynamics, we extend the localization process for any engulfable Hamiltonian path $ϕ_H$ whose time-one map $ϕ_H^1$ is sufficiently $C^0$-close to the identity (and also to the case of triangle product), and prove that the value of local Lagrangian spectral invariant is the same as that of global one. Such a Hamiltonian path naturally occurs as an approximating sequence of engulfable topological Hamiltonian loop. We also apply this localization to the graphs $\Graph ϕ_H^t$ in $(M imes M, ω\oplus -ω)$ and localize the Hamiltonian Floer complex of such a Hamiltonian $H$. We expect that this study will play an important role in the study of homotopy invariance of the spectral invariants of topological Hamiltonian.

研究の動機と目的

• $C^2$-小でないハミルトニアンに対して、ラグランジュフロー・ホモロジーの局所化を$C^0$-小、埋め込み可能な位相的ハミルトニアンループへ拡張すること。
• 面積に基づく二分法の$C^0$-設定での失敗を克服し、$C^0$-位相下でのフロアー軌道の厚-薄分解を確立すること。
• $C^0$-小かつ埋め込み可能なハミルトニアンループに対して、局所的およびグローバルなラグランジュスペクトル不変量が一致することを証明し、位相的ハミルトニアン力学におけるホモトピー不変性を可能にすること。
• 局所的およびグローバルなハミルトニアンフロアー・ホモロジーを結ぶために、$M \times M$ 上のグラフおよび三角形積への局所化を応用すること。
• $C^0$-近似ループを用いて、スペクトル不変量のホモトピー不変性を位相的ハミルトニアンカテゴリーに基礎づけること。

提案手法

• フロアー軌道の$C^0$-版の厚-薄分解を導入し、$C^2$-小ささの代わりに埋め込み可能性と恒等写像への$C^0$-近さを用いる。
• $C^0$-近似ループにハンドルスライディング補題を適用し、フロアー軌道がホモロジーを変えずに近傍内で変形可能であることを証明する。
• $J_0$-凸領域と最大値原理を用いて、局所的複素構造内でのホロモーティック曲線の挙動を制御する。
• 再パrametrization写像$v = u_0 \# \overline{u}_1$を介して、$\Delta \subset M \times M$ 上の局所的ハミルトニアンフロアー複体と、$\text{Graph}(\phi_G^1)$ 上のそれとの間の自然同型を構成する。
• 一意的パラメータ族$G^s$を介して、異なるハミルトニアン$G$と$G'$を関連させ、それらのフロアー複体がフィルトレーションを保存する同型であることを示す。
• 断熱極限技術を用いて、極限が退化していても、$C^0$-変形下でのフロアー軌道の収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュフロアー・ホモロジーの局所化は、$C^2$-小から$C^0$-小へのハミルトニアンパスへ拡張可能か？
• RQ2 $C^2$-小ささが成立しない$C^0$-位相下でも、フロアー軌道の厚-薄分解は維持されるか？
• RQ3 $C^0$-小かつ埋め込み可能なハミルトニアンループに対して、局所的およびグローバルなラグランジュスペクトル不変量は等しいか？
• RQ4 ハミルトニアンフロアー・ホモロジーにおける三角形積は、$M \times M$ 上の対角線近傍へ局所化可能か？
• RQ5 位相的ハミルトニアンループのスペクトル不変量は、埋め込み可能なパスによる$C^0$-ホモトピーに関して不変か？

主な発見

• $C^0$-恒等写像に近い任意の埋め込み可能なハミルトニアンパス$\phi_H$に対して、局所的ラグランジュスペクトル不変量$\rho^{\text{lag}}(H;1)$はグローバルなものと等しい。
• $C^2$-小ささがなくても、埋め込み可能性と$J_0$-凸性を用いることで、$C^0$-設定下でのフロアー軌道の厚-薄分解が存在する。
• $C^0$-近似ループに対してハンドルスライディング補題が成り立ち、フロアー軌道が近傍内で変形可能である。
• $C^2$-小の結果を$C^0$-設定へ拡張し、局所的フロアー・ホモロジー$HF_*^{[\text{id}]}((L,L),H;U)$は$H_*(L;\mathbb{Z}_2)$に同型である。
• $\Delta \subset M \times M$ 上のハミルトニアンフロアー複体は、モジュライ空間の微分同相写像を介して、$\text{Graph}(\phi_G^1)$ 上の局所的複体と自然に同型である。
• $G$と$G'$のスペクトル不変量は等しく、フロアー・ホモロジー上の誘導写像はフィルトレーションを保存する同型である。これによりホモトピー不変性が証明される。