[論文レビュー] Localization of particles in quantum field theory

W. Westra|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 63被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非局所的なニュートン＝ウィンガー位置演算子の代わりに双線形で共変な位置演算子を導入することで、スカラー量子場理論に対する共変的で局所的な確率的解釈を提案する。負の周波数モードを組み込み、ホイーラー伝播関数とハダマール二点関数を用いることで、フレームワークはアインシュタインの因果律を回復し、相対論的波動関数からハイゼンベルクの不確定性関係を導出可能となる。これにより、第一量子化されたコペンハーゲン的解釈がQFTに可能になる。

ABSTRACT

We put forward an interpretation of scalar quantum field theory as relativistic quantum mechanics by curing well known problems related to locality. A probabilistic interpretation of quantum field theory similar to quantum mechanics is difficult if particle localization is defined using the Newton-Wigner position operator as it is non-local and non-covariant. An alternative bilinear covariant position operator is discussed which incorporates a time operator that can be exponentiated to a unitary operator. Moreover, it satisfies an algebra that unifies special relativity and quantum mechanics and has the same form for particles with spin. Higher power position operators are derived which yield Heisenberg's uncertainty relations. Our ideas are illustrated with a relativistic wave function whose probability density can be perfectly localized.

研究の動機と目的

• 標準的な相対論的量子力学および量子場理論における非局所性と因果律の問題を解決すること。
• 非相対論的量子力学に類似した確率的解釈を持つ、一貫性のあるスカラーQFTの第一量子化形式を提供すること。
• 非共変的で非局所的なニュートン＝ウィンガー位置演算子を、高次モーメント演算子を支持できる双線形で共変な代替物に置き換えること。
• 相対論的量子場理論の枠組み内でハイゼンベルクの不確定性原理を回復すること。
• 正負の周波数モードを含むローレンツ不変な確率密度を確立すること。

提案手法

• 正負の周波数成分を対称的に扱う基底で表現される、標準的なクライン＝ゴルドン形式と同等の新しい確率密度を、場とそのハーモニック変換の積を用いて導入する。
• 因果的時間発展を保証し、非因果的なファインマン伝播関数に代わる、ファインマン伝播関数の実部であるホイーラー伝播関数を時間順序付き進化核として用いる。
• 位置空間および運動量空間の両方で非局所項を避ける、双線形で共変な位置演算子を定義する。これはシュレーディンガー描像の位置演算子を一般化する。
• 相対論的に正規化された波動関数に関してエルミートとなる高次モーメント演算子を導出し、不確定性関係の導出を可能にする。
• ハダマール二点関数（統計的伝播関数）から確率密度を構成し、正定値性とローレンツ不変性を保証するが、正周波数モードに制限しない。
• 実スカラー場の時間順序付き発展が、確率内積を定義するハダマール関数とは異なる、交換子二点関数によって支配されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー量子場理論において、局所的で共変的かつ確率的に一貫した粒子局在化が達成可能か？
• RQ2 局所性を損なわず、相対論的波動関数の時間発展においてアインシュタインの因果律をどのように回復できるか？
• RQ3 新しい位置演算子を用いた相対論的波動関数形式から、ハイゼンベルクの不確定性原理を導出可能か？
• RQ4 負の周波数モードは、相対論的量子力学における因果律と確率保存を維持するために果たす役割は何か？
• RQ5 内積と確率密度を、明示的にローレンツ不変かつ因果的である形に再表現可能か？

主な発見

• 提案された双線形位置演算子は共変的で局所的であり、位置空間および運動量空間に非局所項を含まず、シュレーディンガー描像の位置演算子を一般化する。
• ホイーラー伝播関数を用いて負の周波数モードを組み込むことで、アインシュタインの因果律が回復され、波動関数の時間発展が光円錐構造を尊重する。
• ハーモニック変換とハダマール二点関数を用いて導出された新しい確率密度は、正定値かつローレンツ不変であり、正負の周波数成分を含む。
• フレームワークにより、高次モーメント演算子を介して相対論的波動関数からハイゼンベルクの不確定性関係を導出可能となり、QFTにおける量子力学の核心的原則が回復される。
• 波動関数の時間発展は交換子二点関数（ホイーラー伝播関数）によって支配されるが、確率密度はハダマール関数によって定義され、ダイナミクスと内積が分離される。
• クライン＝ゴルドン場の標準的正規化が、両方の周波数成分を含む形に一般化され、ローレンツ不変なボルンの法則が得られる：$ P(k) = \frac{1}{2} \int dk_0 \delta(k^2 + m^2) |f(k)|^2 $。