[論文レビュー] Localizing Virtual Cycles by Cosections

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、障害層の余写像を用いた代数幾何における仮想サイクルの新しい局所化技術を導入する。局所化されたギズィン写像を構成することで、著者らは仮想サイクルが余写像が全射でない場所、すなわち退化局所に局所化されることを示し、これはホロモーフィック2形式に関して「ゼロ」写像によって表されるクラスに限って非ゼロとなる局所化仮想サイクルを定義可能にする。この結果は、ホロモーフィック2形式を持つ表面のグロモフ＝ウィトテン不変量に関する既存の結果を一般化し、再現する。

ABSTRACT

We show that a cosection of the obstruction sheaf of a perfect obstruction theory localizes the virtual cycle to the non-surjective locus of the cosection. We give algebraic constructions of localized Gysin maps and localized virtual cycles. Various applications of these constructions are discussed.

研究の動機と目的

• 安定写像のモジュライ空間および他の幾何的不変量における仮想サイクルの局所化のための新しい手法を開発すること。
• 標準的手法が失敗する状況、特にホロモーフィック2形式が存在する場合における仮想サイクルの計算の課題に対処すること。
• リー＝パーカーの表面のグロモフ＝ウィトテン不変量に関する局所化結果を一般化すること。
• 余写像による局所化を通じて、カバリ・ヤウ3次元多様体およびヒルベルトスケールに適用可能な削減仮想基本クラスを定義すること。

提案手法

• 全射性のない部分集合上で定義される、ベクトルバンドル $ E $ とそのメロモーフィック余写像 $ \rho $ に対して、局所化されたギズィン写像 $ s_{E,\rho}^{!} $ を構成する。
• $ {\cal M}(\sigma) $ を余写像 $ \sigma $ の非全射局所とすると、 $ E(\rho) = E|_{{\cal M}(\sigma)} \cup \ker(\rho) $ を定義する。
• 内在的正規コーンが余写像の核コーンスタックに含まれることを証明し、これにより局所化仮想サイクルの構成が可能になる。
• 局所化されたギズィン写像を用いて、局所化仮想サイクル $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} \in A_*{\cal M}(\sigma) $ を定義する。
• 包含写像 $ \iota: {\cal M}(\sigma) \to {\cal M} $ を通じて、局所化されたギズィン写像と標準ギズィン写像の整合性を確立する。
• ゼロ切断の横断的摂動を用いた解析的定義を構成し、サイクルからホモロジー類への比較により、代数的定義と同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害層に余写像が存在する場合、モジュライ空間の仮想サイクルは、その余写像が全射でない部分に局所化可能か？
• RQ2 メロモーフィック余写像を持つベクトルバンドルに対して、どのように局所化ギズィン写像を定義できるか？
• RQ3 局所化仮想サイクルと環境空間内の元の仮想サイクルとの関係は何か？
• RQ4 この技法により、ホロモーフィック2形式を持つ表面のグロモフ＝ウィトテン不変量に関して既知の局所化結果（リー＝パーカーの結果など）を回復または一般化できるか？
• RQ5 余写像が正則的かつ全射である場合、この構成は削減仮想基本クラスをもたらすか？

主な発見

• 仮想サイクル $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}} $ は、余写像 $ \sigma $ が全射でない場所 $ {\cal M}(\sigma) $ に、局所化仮想サイクル $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} \in A_*{\cal M}(\sigma) $ を通じて局所化される。
• 局所化仮想サイクルは $ [{\cal M}]^{\mathrm{vir}} = \iota_*[ {\cal M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} $ を満たす。ここで $ \iota: {\cal M}(\sigma) \to {\cal M} $ は包含写像である。
• ホロモーフィック2形式 $ \theta $ を持つ滑らかで準射影的多様体 $ X $ に対して、 $ \overline{\cal M}_{g,n}(X,\beta) $ の仮想基本クラスは、 $ \beta $ が $ \theta $-null 安定写像によって表される場合に限り非ゼロである。
• 余写像が正則的かつ全射である場合、この構成により削減仮想基本クラスが得られ、オクウンコフ＝パンダリパンドの削減クラス構成を一般化する。
• 局所化ギズィン写像は標準ギズィン写像と整合する： $ \iota_* \circ s_{E,\sigma}^! = s_E^! \circ \tilde{\iota}_* $。
• 横断的摂動を用いた解析的定義が構成され、サイクルからホモロジー類への比較により、代数的定義と一致することが示された。