[論文レビュー] Locally Decodable Codes with Randomized Encoding

Kuan Cheng, Xin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ランダム化符号化を用いた局所的に可解な符号（LDC）を導入し、ハミング誤りおよび編集誤りの両方において、大幅に改善されたレート-クエリトレードオフを実現する。ランダム化符号化と誤り耐性を持つブロック構造を有する階層的復号を活用することで、多項対数的クエリ複雑度と定数レートの符号を達成し、従来のLDCにおける長年の限界を克服する。

ABSTRACT

We initiate a study of locally decodable codes with randomized encoding. Standard locally decodable codes are error correcting codes with a deterministic encoding function and a randomized decoding function, such that any desired message bit can be recovered with good probability by querying only a small number of positions in the corrupted codeword. This allows one to recover any message bit very efficiently in sub-linear or even logarithmic time. Besides this straightforward application, locally decodable codes have also found many other applications such as private information retrieval, secure multiparty computation, and average-case complexity. However, despite extensive research, the tradeoff between the rate of the code and the number of queries is somewhat disappointing. For example, the best known constructions still need super-polynomially long codeword length even with a logarithmic number of queries, and need a polynomial number of queries to achieve a constant rate. In this paper, we show that by using a randomized encoding, in several models we can achieve significantly better rate-query tradeoff. In addition, our codes work for both the standard Hamming errors, and the more general and harder edit errors.

研究の動機と目的

• 局所的に可解な符号（LDC）における上界と下界の間の長年のギャップを解消すること、特に従来の構成における劣悪なレート-クエリトレードオフを改善すること。
• 敵対的誤りモデル下で、ランダム化符号化がLDCのレートを向上させるとともにクエリ複雑度を低減できるかどうかを検討すること。
• ハミング誤りおよび編集誤りの両方を耐えることができる効率的なLDCを構築すること。復号時間はサブ線形で、符号語は定数レートを維持すること。
• ランダム化符号化を用いて、柔軟な失敗確率を実現できる定数レートのLDCを達成できるかどうかを調査すること。
• LDCの適用範囲を、従来の構成が弱いか存在しなかった、無作為化されたチャネルおよび編集誤りを含むより一般的な誤りモデルに拡張すること。

提案手法

• 2段階符号化を採用：まず、メッセージブロックを編集誤り訂正符号で符号化し、次に、置換とブロック単位の符号化を用いたランダム化符号化を適用して耐性を向上させる。
• 階層的復号戦略を採用し、各層で符号化のランダムネスを活用するランダム化復号関数を用いてブロックを復号する。
• 符号語の位置にわたる符号化ブロックのマッピングを可能にするために、ブロックの置換スキーム（π）を導入する。これにより、復号中に位置の回復が効率的に行える。
• インデックスの2進表現を用いてブロックの配置と復号をガイドし、各クエリが正しいメッセージブロックにマッピングされることを保証する。
• 各層で多項対数的数のブロックのみをクエリする再帰的復号プロセスを採用し、クエリの繰り返しにより失敗確率を制御する。
• 置換されたブロック上で強力な探索および復号アルゴリズムを用いることで、挿入および削除に対しても耐性を持つように、ハミング誤りと編集誤りの両方の構成を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム化符号化は、ハミング誤りおよび編集誤りの両方において、局所的に可解な符号のレート-クエリトレードオフを顕著に改善できるか？
• RQ2 ランダム化符号化を用いて、多項対数的クエリ複雑度を持つ定数レートのLDCを構築できるか？
• RQ3 符号化のランダムネスを知らなくても復号が成功するか？このようなモデルではどのような性能的トレードオフが生じるか？
• RQ4 敵対者が符号化のランダムネスを把握している場合、ランダム化LDCのセキュリティおよび効率性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 無作為化チャネルにおいて、ランダム化符号化技術を用いてクエリ複雑度をさらに低減できるか？

主な発見

• 提案された構成により、多項対数的クエリ複雑度 $ q = \mathsf{polylog}\,k \cdot \log\frac{1}{\varepsilon} $ を達成する定数レートの局所的に可解な符号が実現され、これまでは達成できなかった大幅な改善がなされた。
• この構成は定数の編集誤り率を耐え、敵対的破壊下でも高い復号成功確率 $ 1 - \varepsilon $ を維持する。
• ランダム化符号化と階層的ブロック復号を用いることで、符号語長が $ O(n) $ にまで短縮され、$ n = \Theta(k \log k) $ であり、メッセージ長 $ k $ に対して定数レートを達成する。
• 符号語が $ \delta = O(1) $ の編集誤り率で破壊されても、復号アルゴリズムは高確率で任意のメッセージビットを正しく復号可能であり、サブ線形数のクエリで実現される。
• 復号時間は $ n $ の多項式時間で効率的であり、クエリの繰り返しを調整することで失敗確率を柔軟に制御可能である。
• 既知の上界と下界の間のギャップが顕著に縮小され、特に $ r = \mathsf{polylog}\,k $ クエリの範囲で顕著な改善が得られた。