[論文レビュー] Long hitting time, slow decay of correlations and arithmetical properties

Stefano Galatolo, Pietro Peterlongo|ArXiv.org|Jan 20, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定のリウヴィル型算術的性質（入り組んだ収束分母を特徴とする）を有するトーラス移動のクラスを構成し、その hitting time の対数法則に違反することを示す。このような系において、log hitting time を -log r で割った liminf が無限大に発散することを示しており、これは多項式的でない混合性と、測度との間の典型的なべき乗則的関係の崩壊を意味する。これは、三つ目のトーラス上で混合系を構成する再パラメータ化を行った後でも成立する。

ABSTRACT

Let $τ_r(x,x_0)$ be the time needed for a point $x$ to enter for the first time in a ball $B_r(x_0)$ centered in $x_0$, with small radius $r$. We construct a class of translations on the two torus having particular arithmetic properties (Liouville components with intertwined denominators of convergents) not satisfying a logarithm law, i.e. such that for generic $x,x_0$ \liminf_{r o 0} \frac{\log τ_r(x,x_0)}{-\log r} = \infty. By considering a suitable reparametrization of the flow generated by a suspension of this translation, using a previous construction by Fayad, we show the existence of a mixing system on three torus having the same properties. The speed of mixing of this example must be subpolynomial, because we also show that: in a system having polynomial decay of correlations the above ratio of logarithms (which is also called the lower hitting time indicator) is bounded (it is a function of the local dimension and the speed of correlation decay). More generally, this shows that reparametrizations of torus translations having a Liouville component cannot be polynomially mixing.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上の移動のクラスを構成し、特定の算術的性質を有するが、 hitting time の対数法則に違反するものとする。
• このような系において、log hitting time を -log r で割った liminf が無限大に発散することを示し、極めて長い待機時間を示唆する。
• このような系の再パラメータ化により、三つ目のトーラス上で混合系が得られ、相関の部分多項式的減衰が生じることを示す。
• 相関減衰の速度と上位 hitting time 指標との一般的関係を確立し、多項式的減衰が log 確率比の limsup の有界性を示すことを示す。
• リウヴィル成分を有するトーラス移動の再パラメータ化は、多項式的混合にはなり得ないことを証明する。

提案手法

• 連分数の収束分母が q′_n ≥ q^γ_n および q_{n+1} ≥ (q′_n)^γ を満たすリウヴィル型無理数を用いた 2-トーラス上の移動を構成する（γ > 1）。
• hitting time τ_r(x,x₀) と最小距離 d_n(x,x₀) の関係を、恒等式 liminf_r (log τ_r / -log r) = 1 / limsup_n (-log d_n / log n) を用いて関係づける。
• 命題11を適用し、hitting time の挙動を軌道内の距離の減衰率に関連づけ、算術的性質を力学的挙動に翻訳する。
• Fayad の再パラメータ化技術を用いて、移動流をスuspended し、同じ hitting time 挙動を有する三つ目のトーラス上での混合系を構成する。
• 局所次元と相関減衰率の観点から、上位 hitting time 指標に対する一般的な上界を確立し、多項式的減衰が log 確率比の limsup の有界性を示すことを示す。
• ディオファントス近似およびボレル＝カンテリ理論の結果を用いて、特定の球の列における収縮ターゲット性質の失敗を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 log hitting time を -log r で割った liminf が局所次元を上回るようなトーラス移動が存在しうるか？
• RQ2 回転ベクトルにどのような算術的条件が課されると、hitting time の対数法則が破れるか？
• RQ3 相関の部分多項式的減衰を示す系ですら、混合的である可能性はあるか？
• RQ4 相関減衰の速度が上位 hitting time 指標をどの程度制限するか？
• RQ5 リウヴィル型算術的性質は、再パラメータ化された系において多項式的混合をどの程度妨げるか？

主な発見

• 回転ベクトル (α, α′) を持つ 2-トーラス上の移動において、収束分母が q′_n ≥ q^γ_n および q_{n+1} ≥ (q′_n)^γ （ある γ > 1）を満たすとき、liminf_{r→0} (log τ_r(x,x₀) / -log r) ≥ γ が成り立つ。
• これは、liminf が局所次元 d = 2 を超えており、特に γ を任意に大きくとると無限大に発散することを示しており、対数法則に違反していることを意味する。
• Fayad の再パラメータ化構成により、同じ hitting time 挙動を有する三つ目のトーラス上での混合系が得られ、相関の部分多項式的減衰が生じることを示す。
• 本稿では、任意の多項式的相関減衰を示す系において、(log τ_r / -log r) の limsup が局所次元および減衰率の関数によって上界で有界であることを証明しており、このような系はここに示された極端な hitting time 挙動を示さない。
• リウヴィル成分を有するトーラス移動の再パラメータ化は、多項式的混合にはなり得ない。なぜなら、このような系は部分多項式的相関減衰を示さなければならないからである。
• 特定の収縮ターゲットの列において、力学的ボレル＝カンテリの補題が失敗することを示し、これは測度の和が発散する場合でも、観察された hitting time 挙動と整合的である。