[論文レビュー] Long multiplication by instruction sequences with backward jump instructions

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、nビットの2進数の長距離乗算が、後退ジャンプ命令を含む線形長の命令列によって実装可能であることを示しており、このようなジャンプを含まない場合に比べてサイズを顕著に削減している。後退ジャンプが古典的アルゴリズムのコンパクトで効率的な実装を可能にし、停止問題の具体的な証拠を提供するとともに、アルゴリズム的同等性の定義における曖昧さを浮き彫りにしている。

ABSTRACT

For each function on bit strings, its restriction to bit strings of any given length can be computed by a finite instruction sequence that contains only instructions to set and get the content of Boolean registers, forward jump instructions, and a termination instruction. Backward jump instructions are not necessary for this, but instruction sequences can be significantly shorter with them. We take the function on bit strings that models the multiplication of natural numbers on their representation in the binary number system to demonstrate this by means of a concrete example. The example is reason to discuss points concerning the halting problem and the concept of an algorithm.

研究の動機と目的

• nビットの2進数の長距離乗算が、後退ジャンプ命令を含む命令列によって実装可能であることを示すこと。
• このような命令列が、後退ジャンプを含まないものと比較して著しく短くなること、特に二次的ではなく線形長にまで短縮できることを示すこと。
• この効率化の影響が、停止問題やアルゴリズムの概念を含む計算の基礎的問題に与える影響を調査すること。
• 間接アドレッシングが、このような実装における命令列長をさらに短縮できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 論文は、標準的な長距離乗算アルゴリズムのわずかな変種を用いて、論理レジスタ演算、前方および後退ジャンプ、終了命令のみを用いて乗算を計算する命令列を設計する。
• nビットのワードを論理レジスタでモデル化し、基本的な操作（例：ビットシフト、加算）を命令列フレームワーク内に定義する。
• 命令列の長さを漸近的表記を用いて分析し、後退ジャンプを用いることで長さがnに対して線形的になることを示す。
• インデックスアドレッシングを導入して、補助レジスタを介した論理レジスタへの間接参照を可能にし、命令列長をさらに短縮する。
• 間接アドレッシングを用いる前後で命令列長を比較し、インデックスアドレッシング下では対数的成長が達成されることを示す。
• 分析はプログラム代数および基本的スレッド代数に裏打ちされており、命令列の形式的意味論を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nビットの2進数の長距離乗算が、後退ジャンプ命令を含む命令列によって線形時間・線形空間で実装可能か？
• RQ2 後退ジャンプの有無にかかわらず、命令列長にどのような影響を与えるか？
• RQ3 間接アドレッシングが、乗算のための命令列長をどの程度さらに短縮できるか？
• RQ4 このようなコンパクトな命令列が、命令型プログラミングにおける停止問題に与える影響は何か？
• RQ5 この構成が、形式的計算モデルにおけるアルゴリズム的同等性の概念にどのような挑戦をもたらすか、あるいは明確化するか？

主な発見

• 後退ジャンプ命令を用いる場合、nビットの2進数の長距離乗算を計算する関数は、O(n)の長さの命令列によって実装可能であるのに対し、後退ジャンプを含まない場合はO(n²)となる。
• インデックスアドレッシングを用いることで、命令列長はc·⌊log₂(n)⌋ + c′·⌊log₂(2n−1)⌋ + c′′に短縮され、ここでc < 100、c′ < 10、c′′ < 250であり、対数的成長が達成される。
• 後退ジャンプおよびインデックスアドレッシングを組み合わせた最適化された命令列は、すべてのn > 5に対して、インデックスアドレッシングを含まないバージョンよりも短い。
• この構成は、後退ジャンプを含む命令列の振る舞いを完全に予測できないことから、命令型プログラミングにおける停止問題の決定不能性の具体的な証拠を提供する。
• 論文は、アルゴリズム的同等性の定義に普遍的に受け入れられた定義が存在しないことを強調しており、異なる形式的モデルが、2つの命令列が同じアルゴリズムを計算しているかどうかについて、矛盾する見解を提示することを示している。
• 結果から、後退ジャンプおよび間接アドレッシングが、低レベルの命令列モデルにおける古典的アルゴリズムのコンパクトで効率的な実装を達成するために不可欠であることが示唆される。