[論文レビュー] Lossless quantum coding in many-letter spaces

Kim Joris Boström|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kraus表現を用いて量子アルファベット間の変換を可能にする一般化された無損失量子符号化方式を提案し、それが常に圧縮不能であることを証明する。また、圧縮可能な量子情報の測定可能性を定義し、その平均値がフォン・ノイマンエントロピーに一致することを示し、エントロピーが圧縮可能な量子情報の基本的尺度であることを確認する。

ABSTRACT

Based on the concept of many-letter theory a general characterization of quantum codes using the Kraus representation is given. Compression codes are defined by their property of decreasing the average information content of a given a priori message ensemble. Lossless quantum codes, in contrast to lossy codes, provide the retrieval of the original input states with perfect fidelity. A general lossless coding scheme is given that translates between two quantum alphabets. It is shown that this scheme is never compressive. Furthermore, a lossless quantum coding scheme, analog to the classical Huffman scheme but different from the Braunstein scheme, is implemented, which provides optimal compression. Motivated by the concept of lossless quantum compression, an observable is defined that measures the amount of compressible quantum information contained in a particular message with respect to a given \\emph{a priori} message ensemble. The average of this observable yields the von Neumann entropy, which is finally established as the amount of compressible quantum information of any message ensemble, confirming its commonly assigned meaning.

研究の動機と目的

• 多くの文字からなる空間における量子符号の一般的特徴付けを、Kraus表現を用いて行う。
• 元の入力状態を完全に再構成できること、かつ忠実度が1に達することを満たす符号化方式を無損失量子符号として定義する。
• 古典的ハフマン符号化に類似した符号化方式を構築するが、Braunsteinの手法とは異なり、最適圧縮を達成する。
• 与えられた事前確率のメッセージ集合に対して、圧縮可能な量子情報の量を測定する観測可能量を定義する。
• この観測可能量の平均値が、フォン・ノイマンエントロピーに等しいことを示し、エントロピーが圧縮可能な量子情報の平均的尺度であることを確立する。

提案手法

• 多くの文字からなる量子アルファベットにおける一般量子符号を、Kraus作用素表現を用いて形式化する。
• 元の入力状態を完全に再構成できること、かつ忠実度が1に達することを満たす符号化方式を、無損失量子符号として定義する。
• 古典的ハフマン符号化に類似した符号化方式を構築するが、Braunsteinの手法とは異なり、最適圧縮を達成する。
• 与えられた事前確率の集合に対して、メッセージ内の圧縮可能な量子情報の量を測定する観測可能量を導入する。
• この観測可能量の平均値を導出し、それが集合のフォン・ノイマンエントロピーに等しいことを示す。
• この観測可能量フレームワークを通じて、フォン・ノイマンエントロピーが圧縮可能な量子情報の決定的尺度であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kraus表現を用いて、多くの文字からなる量子空間における無損失量子符号化をどのように形式的に特徴付けることができるか？
• RQ2 古典的ハフマン符号化に類似した、最適圧縮を達成する無損失量子符号化方式を構築できるか？
• RQ3 与えられたメッセージ集合において、圧縮可能な量子情報の成分を測定する観測可能量をどのように定義できるか？
• RQ4 この観測可能量の平均値がフォン・ノイマンエントロピーに一致するか？ これにより、エントロピーが圧縮可能な量子情報の尺度としての役割を果たすことが確認されるか？
• RQ5 提案された符号化方式は本質的に圧縮可能であるか、それとも元の情報量を変化させずに保存するのか？

主な発見

• 提案された無損失量子符号化方式は、一般的かつ入力状態を忠実に再現するが、それが常に圧縮不能であることが証明されており、平均的な情報量を削減しないことを意味する。
• 与えられた事前確率の集合に対して、メッセージ内の圧縮可能な量子情報の部分を測定する観測可能量が定義される。
• この観測可能量の平均値が、集合のフォン・ノイマンエントロピーに数学的に等しいことが示された。
• この結果により、フォン・ノイマンエントロピーが任意のメッセージ集合における圧縮可能な量子情報の正しい基本的尺度であることが確認された。
• この符号化方式はBraunsteinの手法とは異なり、古典的ハフマン符号化に類似した最適圧縮を達成する。
• この枠組みにより、量子情報理論と量子圧縮におけるエントロピーの操作的意味の間の明確なリンクが確立された。