[論文レビュー] On Quantum and Classical Error Control Codes: Constructions and Applications

Salah A. Aly|ArXiv.org|Dec 30, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 171被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体上の古典的符号を用いて、量子ブロック符号、サブシステム符号、畳み込み符号、LDPC符号、非対称符号を含む、新しい量子誤り制御符号の構成を提示する。CSSおよびサブシステム構成を用いて、非二進量子BCH符号の新規族、最適なMDSサブシステム符号、非対称量子符号を確立し、主な結果として、量子畳み込み符号に対する一般化されたSingleton上限と、サブシステム符号の伝搬則を示す。

ABSTRACT

It is conjectured that quantum computers are able to solve certain problems more quickly than any deterministic or probabilistic computer. A quantum computer exploits the rules of quantum mechanics to speed up computations. However, it is a formidable task to build a quantum computer, since the quantum mechanical systems storing the information unavoidably interact with their environment. Therefore, one has to mitigate the resulting noise and decoherence effects to avoid computational errors. In this work, I study various aspects of quantum error control codes -- the key component of fault-tolerant quantum information processing. I present the fundamental theory and necessary background of quantum codes and construct many families of quantum block and convolutional codes over finite fields, in addition to families of subsystem codes over symmetric and asymmetric channels. Particularly, many families of quantum BCH, RS, duadic, and convolutional codes are constructed over finite fields. Families of subsystem codes and a class of optimal MDS subsystem codes are derived over asymmetric and symmetric quantum channels. In addition, propagation rules and tables of upper bounds on subsystem code parameters are established. Classes of quantum and classical LDPC codes based on finite geometries and Latin squares are constructed.

研究の動機と目的

• 有限体上の古典的符号から量子誤り制御符号を体系的に構成するための手法を開発すること。
• デ coherent およびノイズに強く耐性のある符号を設計することで、誤り耐性のある量子計算の課題に取り組むこと。
• ビット反転誤りと位相シフト誤りが異なる確率で発生する非対称チャネルへの量子符号理論の拡張。
• サブシステム符号の理論的上限と伝搬則を確立し、符号パラメータの最適化を可能にすること。
• 特にBCHおよびRS符号を用いた非崩壊的量子畳み込み符号をブロック符号から統一的フレームワークで導出すること。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ および $\mathbb{F}_{q^2}$ 上の自己直交古典的符号から、安定化子形式を用いて量子符号を導出する。
• ユークリッドおよびヘルミート双対性を適用し、古典的BCH符号が双対を含む条件を同定することで、量子BCH符号を構成する。
• 射影幾何学およびリード＝ムラー符号を用いて、パラメータを改善した量子符号（特にパunction付き符号を含む）を構成する。
• 古典的循環符号およびRS符号を用いたサブシステム符号構成を導入し、論理量子ビットとゲージ量子ビットの次元の間のトレードオフを可能にする。
• リード＝ムラー符号の準巡回部分符号を用いて、ブロック符号から量子畳み込み符号を導出する一般枠組みを構築する。
• 二つの古典的循環符号 $C_1$ および $C_2$ に対して $C_2^\perp \subseteq C_1$ を満たすCSSベースの構成を提案し、不均等誤り保護を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的BCH符号がユークリッドまたはヘルミート双対性において自己直交となる条件は何か？ これにより量子符号の構成が可能となる。
• RQ2 自己直交性を要件としない古典的符号から、サブシステム符号を体系的に構成する方法は何か？
• RQ3 量子畳み込み符号に対する一般化されたSingleton上限とは何か？ そして、符号パラメータにどのような制約を課えるか？
• RQ4 異なる誤り確率を持つ二つの古典的循環符号から、非対称量子誤り訂正符号を導出可能か？
• RQ5 サブシステム符号における次元のトレードオフを支配する伝搬則は何か？ そして、符号の最適性にどのように影響するか？

主な発見

• 安定化子形式を用いて、$\mathbb{F}_q$ 上の古典的BCH符号から派生する二つの非二進量子BCH符号族を構成した。
• 最適なMDSサブシステム符号の族を導出し、パラメータ $[[12,1,3,5]]_q$ を $\mathbb{F}_{13}$ 上で達成した。
• 量子畳み込み符号に対する一般化されたSingleton上限を確立し、符号パラメータの理論的限界を提供した。
• 伝搬則を証明した：$[[n,k,r,d]]_q$ サブシステム符号（$k>1$）が存在する場合、$[[n,k-1,r+1,\geq d]]_q$ の符号が存在する。これにより次元のトレードオフが可能となった。
• 二つの古典的循環符号 $C_1$ および $C_2$ に対して $C_2^\perp \subseteq C_1$ を満たす構成を用いて、非対称量子符号を構成した。これにより、$[[12,1,3,5]]$ のような不均等誤り保護を実現した。
• 有限幾何、ラテン平方、巡回コセットを用いて、量子LDPC符号の族を導出し、効率的な反復デコードを可能にした。