[論文レビュー] Low Mach number limit of some staggered schemes for compressible barotropic flows

Raphaèle Herbin, J.‐C. Latché+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 60被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、圧縮性バロトropicナビエ＝ストークス流れに対する3つのステガード有限体積スキーム—時刻に陰的に、および2つの反復を要しない圧力補正法—が、マッハ数 ε → 0 のとき、漸近保存的（asymptotic preserving）であることを厳密に証明している。これらのスキームは、εに依存しないメッシュ依存のCFL条件の下で、安定性およびエントロピー推定が保たれる限り、非圧縮性流れの整合的な離散化に収束する。これにより、すべてのマッハ数においてロバストな性能が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we study the behaviour at low Mach number of numerical schemes based on staggered discretizations for the barotropic Navier-Stokes equations. Three time discretizations are considered: the implicit-in-time scheme and two non-iterative pressure correction schemes. The last two schemes differ by the discretization of the convection term: linearly implicit for the first one, so the resulting scheme is unconditionnally stable, and explicit for the second one, so the scheme is stable under a CFL condition involving the material velocity only. We rigorously prove that these three variants are asymptotic preserving in the following sense: for a given mesh and a given time step, a sequence of solutions obtained with a sequence of vanishing Mach numbers tend to a solution of a standard scheme for incompressible flows. This convergence result is obtained by mimicking the proof already known in the continuous case.

研究の動機と目的

• 音波の剛性に起因する標準的な圧縮性流れスキームが低マッハ数で数値不安定化および精度喪失を示す問題に対処する。
• 圧縮性バロトropicナビエ＝ストークス方程式に対するステガード有限体積スキームが、非圧縮性極限（ε → 0）においても有効かつ整合的であることを確立する。
• 3つの時間離散化バージョン—時刻に陰的なものおよび2つの圧力補正法—が、εに依存せず安定性および非圧縮性解への収束を保つことを証明する。
• 離散エントロピー推定およびエネルギー境界が、すべてのマッハ数において一様に有効であり、ε → 0 のとき劣化しないように保証する。
• 連続的な低マッハ数極限を模倣する厳密な数学的枠組みを提供し、離散ケースに適用する。ここでは離散関数解析とメッシュ依存の安定性条件を用いる。

提案手法

• 速度と圧力にそれぞれCrouzeix-RaviartおよびRannacher-Turek有限要素を用いたステガード有限体積離散化を採用し、適切な離散inf-sup適合性を確保する。
• 3つの時間離散化スキームを適用：1つは完全に時刻に陰的で、残り2つは対流項の取り扱いが異なる反復を要しない圧力補正法—線形的に陰的および完全に明示的である。
• 離散エネルギー推定を導出し、時間刻み制限 hT^(1+d/2) を含む条件下で、全離散エネルギーがεに対して一様に有界であることを証明する。
• 離散エントロピー不等式 (7.15) がεに対して一様に成り立つことを確立し、メッシュの正則性および初期データの境界を考慮した修正CFL条件に依存する。
• 逆不等式およびメッシュ正則性指標（θT）を用いて、L²ノルムに基づくL∞ノルムの速度および密度の境界を導出し、εに依存しない推定を可能にする。
• 時間ステップに関する帰納法を用いた証明を行い、ステップnにおいてエネルギーおよびフラックスの境界が成り立つならば、時間刻み条件がεに依存しない限り、それらがステップn+1に伝播することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステガード有限体積スキームが圧縮性バロトropic流れに対して、マッハ数 ε → 0 のときにも安定性を保ち、非圧縮性解に収束するか？
• RQ2 離散エネルギーおよびエントロピーが、特に低マッハ数領域においてもすべてのマッハ数にわたって一様に有界であるか？
• RQ3 明示的または線形的に陰的な対流項を有する反復を要しない圧力補正スキームが、漸近保存的性質を保つことができるか？
• RQ4 安定性のための時間刻み制限がεに依存せず、低マッハ数極限においてもロバストであるか？
• RQ5 離散スキームが、圧縮性解が非圧縮性解に収束する連続的な低マッハ数極限を模倣できるか？

主な発見

• 3つのスキーム—時刻に陰的および2つの圧力補正バージョン—はいずれも漸近保存的である：ε → 0 のとき、解は一貫性のある離散非圧縮性ナビエ＝ストークススキームに収束する。
• CFL条件 δt ≤ C(d, θT, C0) hT^(1+d/2) の下で、離散的グローバルエントロピー推定 (7.15) がεに対して一様に成り立つ。
• 時間刻み制限は古典的なCFL条件よりも厳しくなるが、これによりεに依存しない安定性およびエネルギー境界が保証される。
• エネルギーおよびエントロピーはすべてのマッハ数において一様に有界であり、境界は初期データおよびメッシュ正則性θTにのみ依存する。
• 導出されたCFL条件下で、速度のL²ノルムおよび密度が1からのずれは、すべてのマッハ数においてεに依存せず制御され、非圧縮性挙動への収束が保証される。
• 証明は帰納法および逆不等式に依存しており、時間nにおいて境界が成り立つならば、提示された時間刻み条件の下でそれらが時間n+1に伝播することを示している。