[論文レビュー] Low-Sensitivity Functions from Unambiguous Certificates

Shalev Ben-David, Pooya Hatami+1 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|May 23, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、感度と片側一意的証明書複雑さ（UC_min）の間の新しい接続を導入することで、新たなクエリ複雑さの分離を確立した。UC_minに基づく構成と既存のチートシート関数を用いて、決定的／ランダム化／量子クエリ複雑さと感度の間で3乗の分離、および証明書複雑さと感度の間で2.22乗の分離を達成した。これらの結果は、木感度に関する予想を反証し、Clique vs. Independent Set問題の共非決定的通信複雑さの下界を改善した。

ABSTRACT

We provide new query complexity separations against sensitivity for total Boolean functions: a power $3$ separation between deterministic (and even randomized or quantum) query complexity and sensitivity, and a power $2.22$ separation between certificate complexity and sensitivity. We get these separations by using a new connection between sensitivity and a seemingly unrelated measure called one-sided unambiguous certificate complexity ($UC_{min}$). We also show that $UC_{min}$ is lower-bounded by fractional block sensitivity, which means we cannot use these techniques to get a super-quadratic separation between $bs(f)$ and $s(f)$. We also provide a quadratic separation between the tree-sensitivity and decision tree complexity of Boolean functions, disproving a conjecture of Gopalan, Servedio, Tal, and Wigderson (CCC 2016). Along the way, we give a power $1.22$ separation between certificate complexity and one-sided unambiguous certificate complexity, improving the power $1.128$ separation due to Göös (FOCS 2015). As a consequence, we obtain an improved $Ω(\log^{1.22} n)$ lower-bound on the co-nondeterministic communication complexity of the Clique vs. Independent Set problem.

研究の動機と目的

• 感度が他のクエリ複雑さ測度と多項式的に関連しているかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• 決定的、ランダム化、量子クエリ複雑さといった基本的な複雑さ測度と感度の間で、より強い分離を確立すること。
• Clique vs. Independent Set問題の共非決定的通信複雑さの下界を改善すること。
• GSTW16が提唱した、木感度と量子クエリ複雑さの関係に関する予想を反証すること。
• 片側一意的証明書複雑さ（UC_min）が感度や他の測度との橋渡しとして果たす役割を調査すること。

提案手法

• 証明書複雑さに関連するが、一意的証明書を持つ片側一意的証明書複雑さ（UC_min）を導入・分析すること。
• UC_min(f)^{1+α}のオーダーでD(f)が成長する任意の関数族に対して、D(f) = ~Ω(s(f)^{2+α})が成り立つという重要な定理を確立し、UC_minと感度を結びつけること。
• ABK15のチートシート関数を用い、UC_minが小さいが、感度に比べて高い量子クエリ複雑さを持つ関数を構成すること。
• Göösの構成（C(f) ≥ UC_min(f)^1.128）を活用し、証明書複雑さと感度の間の分離を改善すること。
• ブロックごとの重み付き平均を用いた議論により、UC_minと平均次数の観点から、ランダム化証明書複雑さの上界を導出すること。
• 分数量の重みを用いた双対証拠法を用い、RC(f)をUC_minおよび感度関連パラメータの観点から評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感度と証明書複雑さの間で、超二次の分離を達成できるか？
• RQ2 一意的証明書複雑さを用いて、感度と他のクエリ複雑さ測度の間でより強い分離を達成できるか？
• RQ3 UC_minと感度の関係を活用し、量子クエリ複雑さの下界を改善できるか？
• RQ4 GSTW16が提唱したように、木感度と量子クエリ複雑さの間には二次関係が成り立つか？
• RQ5 これらの技術を用いて、Clique vs. Independent Set通信複雑さ問題に対するより強い下界を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、決定的・ランダム化・量子クエリ複雑さと感度の間で3乗の分離を達成し、D(f) = ~Ω(s(f)^3)を示した。
• 証明書複雑さと感度の間で2.22乗の分離を確立し、C(f) = Ω(s(f)^2.22)を示した。
• GSTW16の予想を反証し、木感度と量子クエリ複雑さの間で二次の分離を示した。Q(f) = ~Ω(ts(f)^2)が成り立つ。
• 証明書複雑さと片側一意的証明書複雑さの間の分離を、1.22乗のギャップまで改善し、Göösの先行結果（1.128）を上回った。
• UC_minが分数量ブロック感度によって下から抑えられることを証明し、この手法によるブロック感度と感度の間の超二次の分離は不可能であることを示した。
• 改善された分離により、Clique vs. Independent Set問題における共非決定的通信複雑さの下界がΩ(log^1.22 n)に向上した。