[論文レビュー] Randomized query complexity of sabotaged and composed functions

Shalev Ben-David, Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|May 29, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ランダム化クエリ複雑度における新たな下界技術として、ランダム化サボタージュ複雑度を導入し、完全な合成定理を可能にする。関数 f と g の間に小さなインデックスガジェット（クエリ複雑度 Θ(log R(g))）を挿入することで、R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g)) が成り立つことが示され、ランダム化クエリ複雑度における合成定理にほぼ達している。

ABSTRACT

We study the composition question for bounded-error randomized query complexity: Is R(f o g) = Omega(R(f) R(g)) for all Boolean functions f and g? We show that inserting a simple Boolean function h, whose query complexity is only Theta(log R(g)), in between f and g allows us to prove R(f o h o g) = Omega(R(f) R(h) R(g)). We prove this using a new lower bound measure for randomized query complexity we call randomized sabotage complexity, RS(f). Randomized sabotage complexity has several desirable properties, such as a perfect composition theorem, RS(f o g) >= RS(f) RS(g), and a composition theorem with randomized query complexity, R(f o g) = Omega(R(f) RS(g)). It is also a quadratically tight lower bound for total functions and can be quadratically superior to the partition bound, the best known general lower bound for randomized query complexity. Using this technique we also show implications for lifting theorems in communication complexity. We show that a general lifting theorem for zero-error randomized protocols implies a general lifting theorem for bounded-error protocols.

研究の動機と目的

• すべてのブール関数 f と g に対して R(f∘g) = Ω(R(f)R(g)) が成り立つかどうかという未解決問題に取り組む。
• 量子および決定的モデルでは失敗することが知られているが、ランダム化クエリ複雑度において一般の合成定理が存在しないという問題を克服する。
• タイトな合成定理を可能にする新たな下界技術を開発し、パーティションバウンドなどの既存手法を改善する。
• 通信複雑度におけるリフトィング定理に影響を及ぼし、ゼロエラーのリフトィング定理が有界エラーのリフトィング定理を示すことを示す。
• 全関数に対して2乗的にタイトな下界を提供し、特定の状況でパーティションバウンドを上回ることを示す。

提案手法

• ランダム化クエリ複雑度の新たな下界測度として、ランダム化サボタージュ複雑度（RS(f)）を導入する。
• RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g) を証明し、RS における完全な合成定理を確立する。
• R(f∘g) = Ω(R(f)RS(g)) を示し、RS とランダム化クエリ複雑度を結びつける。
• インデックス関数 Ind を、R(Ind) = Θ(log R(g)) となるサボタージュ用ガジェットとして用い、f と g を合成する。
• 有界エラーのアルゴリズムに対するミニマックス定理を適用し、期待クエリ複雑度の下界を導出する。
• サボタージュ戦略の構造と確率的議論を活用して、誤差とクエリ回数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム化クエリ複雑度における合成定理は、すなわち近似的にでも確立可能か？
• RQ2 完全な合成を可能にし、全関数に対して2乗的にタイトな下界を提供する下界技術が存在するか？
• RQ3 ランダム化サボタージュ複雑度を用いて、ゼロエラーと有界エラーの通信プロトコルにおけるリフトィング定理を関連づけられるか？
• RQ4 ランダム化サボタージュ複雑度は、パーティションバウンドおよび他の既知の下界と比べてどうか？
• RQ5 ランダム化クエリ複雑度における合成定理が成立するための最小ガジェットサイズは何か？

主な発見

• ランダム化サボタージュ複雑度（RS(f)）は、全ブール関数に対して2乗的にタイトな下界である。
• RS(f) はパーティションバウンド以上であり、特定の状況では2乗的に優れている。
• 合成定理 RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g) は最悪ケースで等号が成り立ち、完全な合成を可能にする。
• 任意の f と g に対して、R(Ind) = Θ(log R(g)) を満たすインデックスガジェットを挿入すると、R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g)) = Ω(R(f)R(g)log R(g)) が成り立つ。
• ゼロエラーの一般リフトィング定理が、有界エラーの一般リフトィング定理を示す。
• 有界エラーのアルゴリズムに対するミニマックス定理を用い、任意のアルゴリズムが誤差 ≤ ε であるためには、分布 μ において期待クエリ数が R_ε(f) 以上であることが示された。