[論文レビュー] Nearly optimal separations between communication (or query) complexity and partitions

Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、チートシートフレームワークを用いて、決定的通信複雑度およびクエリ複雑度が、分割数または部分立方体分割複雑度の対数よりも2乗大きく、ほぼ最適な分離を確立する。これは、決定的通信複雑度とlog-分割数の間でほぼ2乗の分離を達成し、量子クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間でもほぼ2乗の分離を達成し、複雑性理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show a nearly quadratic separation between deterministic communication complexity and the logarithm of the partition number, which is essentially optimal. This improves upon a recent power 1.5 separation of Göös, Pitassi, and Watson (FOCS 2015). In query complexity, we establish a nearly quadratic separation between deterministic (and even randomized) query complexity and subcube partition complexity, which is also essentially optimal. We also establish a nearly power 1.5 separation between quantum query complexity and subcube partition complexity, the first superlinear separation between the two measures. Lastly, we show a quadratic separation between quantum query complexity and one-sided subcube partition complexity. Our query complexity separations use the recent cheat sheet framework of Aaronson, Ben-David, and the author. Our query functions are built up in stages by alternating function composition with the cheat sheet construction. The communication complexity separation follows from lifting the query separation to communication complexity.

研究の動機と目的

• 数十年にわたり未解決のままであった、決定的通信複雑度と分割数の対数との間のギャップを埋める。
• Göös らによるパワー1.5の分離を改善する、クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間の既存の分離を向上させる。
• 量子クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間で、初めての非線形分離を確立する。
• 分割数を用いた決定的通信複雑度の上界 O(log²χ(F)) が本質的に最適であることを示す。
• 部分立方体分割複雑度を用いた決定的およびランダム化クエリ複雑度の2乗上界が、ほぼタイトであることを示す。

提案手法

• アーロンソン、ベン＝ダヴィッド、および著者のチートシートフレームワークを用いて、AND関数と「bk和」関数を合成し、チートシート変換を適用することで、反復的にクエリ関数を構築する。
• 関数は帰納的に構築される：f₁ = ANDₙ ∘ Bkk_CS、fₖ = ANDₙ ∘ (bk-sumₙ ∘ fₖ₋₁)_{CS}、入力サイズは O(n²⁵ᵏ) に成長する。
• 量子クエリ複雑度はアドバーサリー法により下界が示され、チートシートと合成の構造を活用して複雑度を2乗にまで拡大する。
• 通信複雑度の分離は、複雑度ギャップを保持するように、ラーニング定理を用いてクエリ関数の分離を昇格することで得られる。
• 主要な複雑度測度を追跡する：量子クエリ複雑度 Q(fₖ)、証明書複雑度 C₀(fₖ)、C₁(fₖ)、および部分立方体分割複雑度 UC(fₖ) であり、UC(fₖ) = Õ(nᵏ⁺¹) および Q(fₖ) = Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹) を示す。
• 帰納的証明により、量子クエリ複雑度が Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹) に成長し、部分立方体分割複雑度が Õ(nᵏ⁺¹) に成長することを示し、ほぼ2乗の分離を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的通信複雑度と分割数の対数との間のギャップを、理論的上界 O(log²χ(F)) に近いほぼ2乗にまで拡大できるか。
• RQ2 部分立方体分割複雑度を用いた決定的クエリ複雑度の上界 O(UC(f)²) が本質的に最適であるか。
• RQ3 量子クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間で非線形分離を確立できるか。
• RQ4 量子クエリ複雑度と片側部分立方体分割複雑度の間で、最もタイトな分離は何か。
• RQ5 チートシートフレームワークを用いて、複数の複雑度測度においてほぼ最適な分離を達成する関数を構築できるか。

主な発見

• 本論文は、D^cc(F) ≥ (log χ(F))²⁻ᵒ⁽¹⁾ を満たす関数 F を構築し、O(log²χ(F)) の上界が本質的に最適であることを示した。
• 決定的クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間で、ほぼ2乗の分離が達成された：D(f) ≥ UC(f)²⁻ᵒ⁽¹⁾。
• 量子クエリ複雑度と部分立方体分割複雑度の間で、ほぼパワー1.5の分離が確立され、これら2つの測度の間で初めての非線形分離が達成された。
• 量子クエリ複雑度と片側部分立方体分割複雑度の間で2乗の分離が示された。
• 反復的関数合成とチートシート変換を用いて、複数の測度にわたる複雑度ギャップを拡大する。
• 結果として、分割測度を用いた通信およびクエリ複雑度の既知の上界がほぼタイトであることが確認され、長年の未解決問題が解決された。