[論文レビュー] Lower bounds for rainbow Tur\'{a}n numbers of paths and other trees

Daniel Johnston, Puck Rombach|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ルビーレイン・トゥーラン数 $ ex^*(n, F) $ の新たな下界を確立し、任意の $ k \geq 3 $ の辺をもつパス $ P_k $ に対して $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ を示した。この結果は、既存の結果を一般化するものである。著者らは、ハミング距離に基づく色分けを施した構造的エッジ彩色グラフ、特に $ D_{2^s}^* $（完全グラフ $ K_{2^s}^* $ の部分グラフで、頂点間のハミング距離が 1 または $ s $ のエッジのみを含む）を用いて、$ P_k $ のルビーレインコピーを含まない密度の高いエッジ彩色グラフを構築し、この手法をブロームや他の小径のキャタピラーにも拡張した。

ABSTRACT

For a fixed graph $F$, we would like to determine the maximum number of edges in a properly edge-colored graph on $n$ vertices which does not contain a rainbow copy of $F$, that is, a copy of $F$ all of whose edges receive a different color. This maximum, denoted by $ex^*(n, F)$, is the rainbow Tur\\'{a}n number of $F$. We show that $ex^*(n,P_k)\\geq \\frac{k}{2}n + O(1)$ where $P_k$ is a path on $k\\geq 3$ edges, generalizing a result by Maamoun and Meyniel and by Johnston, Palmer and Sarkar. We show similar bounds for brooms on $2^s-1$ edges and diameter $\\leq 10$ and a few other caterpillars of small diameter.

研究の動機と目的

• 既知の下界 $ ex^*(n, P_k) = \frac{k}{2}n + O(1) $ が $ k \in \{3,4\} $ に限られていたのを、すべての $ k \geq 3 $ に一般化し、ルビーレイン・トゥーラン極値グラフの構造的性質をより広く理解すること。
• パス以外の木、特にブロームや小径のキャタピラーに対してこの手法を拡張し、これらの木のルビーレインコピーを避けるエッジ彩色グラフを構築すること。
• 特定の木をルビーレインコピーとして含まない、適切にエッジ彩色されたグラフにおける極値なエッジ密度を調査し、双子や森に類似したグラフに対するより広範なルビーレイン・トゥーラン問題に貢献すること。
• 代数的・組合的構成、特に $ \mathbb{F}_2^s $ から導かれる $ D_{2^s}^* $ を用いた手法が、ルビーレイン・トゥーラン理論における極値例の生成にどのように有用であるかを検討すること。

提案手法

• 頂点数 $ 2^s $ のエッジ彩色完全グラフ $ K_{2^s}^* $ を構成し、各エッジ $ vw $ を $ v - w \in \mathbb{F}_2^s $ のベクトルで彩色することで、適切なエッジ彩色が得られる。
• 頂点間のハミング距離が 1 または $ s $ であるエッジのみを含む $ K_{2^s}^* $ の生成部分グラフとして $ D_{2^s}^* $ を定義し、これは $ (s+1) $-正則かつ適切にエッジ彩色されたグラフであることを保証する。
• $ D_{2^s}^* $ の対称性と色の分布の制御を活用し、このグラフ内でのルビーレインパスやルビーレインサイクルの数を数えることで、$ ex^*(n, F) $ の下界を導出する。
• 数え上げ的議論を用いて、$ D_{2^s}^* $ 内の $ P_k $、$ C_k $、および他の木のルビーレインコピーの数を推定し、$ k = 2^s - 1 $ のとき、ルビーレイン $ C_k $ コピーの数が $ \Omega(k^{\ell-1}n) $（$ \ell \ll k $）であることを示す。
• パスの構成をブローム $ B_{k,l} $ やキャタピラー $ CP_{(s_1,\dots,s_t)} $ に一般化し、$ k = 2^s - 1 $ のとき、$ D_{2^s}^* $ を用いた構成がこれらの木のルビーレインコピーを避けることを示す。
• 平均次数の議論やパス拡張補題（例：長さ $ k $ の最大のルビーレインパスの端点である頂点の次数は $ 2k-2 $ 以下）などの極値グラフ論的手法を用い、ルビーレインパスの数を抑え、極値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下界 $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ は $ k = 3,4 $ からすべての $ k \geq 3 $ に拡張可能か？また、この下界はタイトか？
• RQ2 $ D_{2^s}^* $（$ \mathbb{F}_2^s $ から導かれる）に基づく構成は、ブロームや小径キャタピラーといった他の木のルビーレインコピーを避ける極値例をもたらすか？
• RQ3 適切にエッジ彩色されたグラフにおいて、ルビーレインコピーを避ける際に、パス $ P_k $ が最も容易な木（$ ex^*(n, F) $ を最小化する）であるか？それとも、より小さなルビーレイン・トゥーラン数を持つ木は存在するか？
• RQ4 $ k = 2^s - 1 $ のとき、$ K_{2^s}^* $ 内の $ C_k $ のルビーレインコピーの最大数は何か？また、$ D_{2^s}^* $ 内の数と比較するとどうなるか？
• RQ5 $ D_{2^s}^* $ 以外の $ K_{2^s}^* $ の部分グラフとして、$ t $-スパイダー や他のキャタピラーのような特定の木のルビーレインコピーを効率的に避けるものがあるか？

主な発見

• 本稿では、すべての $ k \geq 3 $ に対して一般下界 $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ を確立し、$ k = 3,4 $ のみに限られていた既存の結果を拡張した。
• $ k = 2^s - 1 $ で直径が 10 以下のブローム $ B_{k,l} $ に対して、$ D_{2^s}^* $ の構成により $ ex^*(n, B_{k,l}) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ が得られ、パスと同様の極値的挙動を示した。
• $ k = 2^s - 1 $ で小径のキャタピラー $ CP_{(s_1,\dots,s_t)} $ に対して、同じ構成により $ ex^*(n, F) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ が得られ、このような木も密度の高いエッジ彩色グラフで回避可能であることを示した。
• $ k = 2^s - 1 $ のとき、$ D_{2^s}^* $ 内の $ C_k $ のルビーレインコピー数は少なくとも $ \frac{k(k-1)}{6}n + O(1) $ であり、一般には $ \Omega(k^{\ell-1}n) $（$ \ell \ll k $）である。これは、豊富なルビーレインサイクル構造を示している。
• $ D_{2^s}^* $ が $ k = 2^s - 1 $ のとき $ C_k $-フリー であることが示され、したがってルビーレイン $ P_k $ を回避する有効な極値例として機能することが確認された。
• 本稿では、$ 2^s $ 頂点上で $ (s+1) $-正則である $ D_{2^s}^* $ が、$ k = 2^s - 1 $ のときルビーレイン $ P_k $ を回避することを示し、そのエッジ密度が下界 $ \frac{k}{2}n + O(1) $ を達成するのに十分であることを示した。