[論文レビュー] Lower Bounds on the Generalized Central Moments of the Optimal Alignments Score of Random Sequences

Ruoting Gong, Christian Houdré+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、主仮定が成り立たない場合の均一近似を用いることで、i.i.d. ランダム列における最適アラインメントスコアの一般化中央モーメントおよび指数モーメントのタイトな漸近的下界を確立する。主な貢献は、強い非対称性を持つ二進文字列における最長共通部分列（LCS）の非自明な下界を導出することであり、関連するレート関数に対する局所的上界も得られている。

ABSTRACT

We present a general approach to the problem of determining tight asymptotic lower bounds for generalized central moments of the optimal alignment score of two independent sequences of i.i.d. random variables. At first, these are obtained under a main assumption for which sufficient conditions are provided. When the main assumption fails, we nevertheless develop a "uniform approximation" method leading to asymptotic lower bounds. Our general results are then applied to the length of the longest common subsequence of binary strings, in which case asymptotic lower bounds are obtained for the moments and the exponential moments of the optimal score. As a byproduct, a local upper bound on the rate function associated with the length of the longest common subsequences of two binary strings is also obtained.

研究の動機と目的

• i.i.d. ランダム列における最適アラインメントスコアの一般化中央モーメントの漸近的下界を導出すること。
• 一般化手法の主仮定が成り立たない場合のモーメントのバインドという挑戦に、『均一近似』技術を導入することで対処すること。
• 強い非対称性を持つ二進文字列における最長共通部分列（LCS）の特定のケースに一般枠組みを適用すること。
• 二進文字列におけるLCSスコアのモーメントおよび指数モーメントの非漸近的および漸近的下界を確立すること。
• 二進文字列のLCSに関連するレート関数に対する局所的上界を導出すること。

提案手法

• アラインメントスコアの差を生じるよう、列の分布を変更する確率的変換に基づく一般化手法を提案する。
• 一般化中央モーメントのタイトな下界をモーメント母関数技術を用いて導出できる主仮定を導入する。
• 主仮定が成り立たない場合には、依然として漸近的下界を得られるよう『均一近似』法を用いる。
• 強い非対称性（例：一つの文字が支配的）を仮定することで、二進LCSのケースにこの手法を適用し、明示的なモーメント下界を得る。
• モーメント母関数の不等式および指数モーメントの推定を用いて、LCSスコアの指数モーメントの下界を導出する。
• 特に関数 $ S_n(t) $ と $ M_q( heta) $ の関係を用いて、濃度および大偏差の議論により正規化されたモーメント比の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. ランダム列における最適アラインメントスコアの一般化中央モーメントのタイトな漸近的下界は何か？
• RQ2 一般化手法の主仮定が成り立たない場合、どのようにしてこのような下界を導出できるか？
• RQ3 強い非対称性を持つ二進文字列における最長共通部分列（LCS）のモーメントおよび指数モーメントの漸近的下界は何か？
• RQ4 二つのi.i.d. 二進文字列のLCSに関連するレート関数に対して、局所的上界を導出できるか？
• RQ5 確率的変換法がアラインメントスコア分布に対して非自明な下界をもたらす条件は何か？

主な発見

• 強い非対称性を持つ二進LCSの場合、$ rac{S_n^{(3)}(t)}{S_n(t)} \to 1 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つことが示され、中心化されたLCSスコアの指数モーメントが $ t $ が小さいとき $ (1-\theta) M_q(\theta)^{2n} $ で下から抑えられることを意味する。
• 適切な条件下で、すべての $ n \to \infty $ に対して、指数モーメント $ \bb{E}\big[e^{t(L_n - \bb{E}[L_n])}\big] $ が $ (1-\theta) M_q(\theta)^{2n} $ で下から抑えられることを示した。
• 解析の副産物として、二進文字列のLCSに関連するレート関数に対する局所的上界が得られた。
• 強い文字確率の非対称性の仮定の下で、LCSスコアの分散および高次モーメントに対する非自明な下界が得られた。
• 非対称性条件（仮定6.1）が成り立ち、ギャップペナルティ $ \theta $ が十分に小さい場合には、LCSを超えるより一般的なスコア体系に対しても結果が拡張可能である。
• 一般化された主定理を用いる限り、$ |\bb{A}| > 2 $ のモデルに対してもフレームワークが適用可能であり、変換における定数 $ A $ の適切なスケーリングにより、元の結果が保たれる。